Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = 3 x^2, para 0 <= x <= 2, em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área lateral da superfície que surge ao girar a curva no intervalo de até em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados à superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando giramos uma curva em torno do eixo , a fórmula para encontrar a área lateral é:
Aqui, é a distância da curva ao eixo de rotação, é a derivada da função, e e são os limites do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, expressamos a integral em termos de :
Calculando :
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando :
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Calculando :
Substituindo na expressão:

Resposta

A área lateral da superfície de revolução é aproximadamente unidades quadradas.

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