Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado:
, para
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área lateral da superfície que surge ao girar a curva
no intervalo de
até
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados à superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando giramos uma curva em torno do eixo
, a fórmula para encontrar a área lateral
é:
Aqui,
é a distância da curva ao eixo de rotação,
é a derivada da função, e
e
são os limites do intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, expressamos a integral em termos de
:
Calculando
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Calculando
:
Substituindo na expressão:
Resposta
A área lateral da superfície de revolução é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional
, sendo dados:
, e
é o versor de
.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Determine a derivada das funções vetoriais:
Determine o versor tangente
no ponto com valor do parâmetro
dado.
(a) .
(a)