Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = 3 x^2, para 0 <= x <= 2, em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área lateral da superfície que surge ao girar a curva no intervalo de até em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados à superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando giramos uma curva em torno do eixo , a fórmula para encontrar a área lateral é:
Aqui, é a distância da curva ao eixo de rotação, é a derivada da função, e e são os limites do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, expressamos a integral em termos de :
Calculando :
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando :
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Calculando :
Substituindo na expressão:

Resposta

A área lateral da superfície de revolução é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=x^2-3 y^2,(x0, y0)=(1,2), e u é o versor de 2 i+j.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=x^2+y^2+z^2 ; x=r sen phi cos theta ; y=r sen phi sen theta ; z=r cos phi ; partial upartial r ; partial upartial phi ; partial upartial theta.
Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = i - j + e^t k
Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado.
(a) r(t) = 6 t^5 i + 4 t^3 j + 2 t k, t = 1.