Calcule a derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=x^2-3 y^2,(x0, y0)=(1,2), e u é o versor de 2 i+j.

Passo 1

Aqui a gente tem um problema de cálculo envolvendo derivadas direcionais. A função dada é , e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada direcional, encontrar o versor da direção dada e aplicar a fórmula correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Imagine que a função representa uma superfície no espaço. A derivada direcional nos diz a taxa de variação dessa superfície em uma direção específica a partir de um ponto dado. Ou seja, ela mostra o quanto a função aumenta ou diminui quando nos movemos na direção do vetor .

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos do versor da direção u = 2i + j||2i + j|| . O versor é um vetor de magnitude 1 que aponta na mesma direção que ||2i + j|| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 . Para encontrar o versor u = ( 2raiz5, 1raiz5 ) , usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o versor é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x em relação a partial fpartial y = -6y e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 5

Com as derivadas parciais e o versor, podemos usar a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial u(x0, y0) = partial fpartial x cdot u1 + partial fpartial y cdot u2
Onde e são as componentes do versor.

Passo 6

Vamos substituir os valores no ponto partial fpartial xg|(1,2) = 2 cdot 1 = 2 :
partial fpartial yg|(1,2) = -6 cdot 2 = -12
E as componentes do versor são e .

Passo 7

Agora, aplicamos na fórmula:
partial fpartial u(1, 2) = 2 cdot 2raiz5 + (-12) cdot 1raiz5 = 4raiz5 - 12raiz5 = 4 - 12raiz5 = -8raiz5
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
-8raiz5 = -8raiz55

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do versor é .

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=x^2+y^2+z^2 ; x=r sen phi cos theta ; y=r sen phi sen theta ; z=r cos phi ; partial upartial r ; partial upartial phi ; partial upartial theta.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a) u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s.
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = 3 x^2, para 0 <= x <= 2, em torno do eixo y.
Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = i - j + e^t k