Calcule a derivada direcional , sendo dados: , e é o versor de .
Passo 1
Aqui a gente tem um problema de cálculo envolvendo derivadas direcionais. A função dada é , e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada direcional, encontrar o versor da direção dada e aplicar a fórmula correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Imagine que a função representa uma superfície no espaço. A derivada direcional nos diz a taxa de variação dessa superfície em uma direção específica a partir de um ponto dado. Ou seja, ela mostra o quanto a função aumenta ou diminui quando nos movemos na direção do vetor .
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, precisamos do versor da direção . O versor é um vetor de magnitude 1 que aponta na mesma direção que . Para encontrar o versor , usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o versor é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 5
Com as derivadas parciais e o versor, podemos usar a fórmula da derivada direcional: