Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = i - j + e^t k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função vetorial . Isso está relacionado ao estudo de cálculo vetorial, onde a gente trabalha com vetores que dependem de uma variável, nesse caso, . Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como é composta por várias componentes em direções diferentes, aqui são , e . A derivada de em relação a será a derivada de cada uma dessas componentes.

Passo 3

Vamos olhar para cada componente:
  1. Componente :
    • A função é simplesmente , que é uma constante.
    • A derivada de uma constante é zero. Então, a derivada dessa componente é .
  2. Componente :
    • Similar à , temos , que também é uma constante.
    • A derivada de é .
  3. Componente :
    • Temos , onde é uma função que depende de e é a constante associada.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada dessa componente é .

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas das componentes, temos:

Resposta

A derivada da função vetorial é .

Exercícios relacionados

Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = 3 x^2, para 0 <= x <= 2, em torno do eixo y.
Calcule a derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=x^2-3 y^2,(x0, y0)=(1,2), e u é o versor de 2 i+j.
Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado.
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integral0^3 integral0^2 integral0^x+z 6 x z d y d x d z