Determine a derivada das funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função vetorial
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo vetorial, onde a gente trabalha com vetores que dependem de uma variável, nesse caso,
. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como
é composta por várias componentes em direções diferentes, aqui são
,
e
. A derivada de
em relação a
será a derivada de cada uma dessas componentes.
Passo 3
Vamos olhar para cada componente:
-
Componente
: - A função é simplesmente
, que é uma constante. - A derivada de uma constante é zero. Então, a derivada dessa componente é
.
- A função é simplesmente
-
Componente
: - Similar à
, temos , que também é uma constante. - A derivada de
é .
- Similar à
-
Componente
: - Temos
, onde é uma função que depende de e é a constante associada. - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada dessa componente é
.
- Temos
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas das componentes, temos:
Resposta
A derivada da função vetorial é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado:
, para
, em torno do eixo
.
Calcule a derivada direcional
, sendo dados:
, e
é o versor de
.
Determine o versor tangente
no ponto com valor do parâmetro
dado.
(a) .
(a)