Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado.
(a) r(t) = 6 t^5 i + 4 t^3 j + 2 t k, t = 1.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o versor tangente T da função vetorial no ponto onde . O versor tangente é basicamente o vetor que indica a direção da curva naquele ponto, normalizado (ou seja, com comprimento 1). Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial vec(r)(t) em relação a t e, depois, normalizar esse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de vec(r)(t) em relação a t. Isso significa derivar cada componente da função separadamente:
Derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos avaliar no ponto onde :

Passo 4

O próximo passo é calcular a norma (ou magnitude) desse vetor derivado:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos normalizar o vetor derivado para encontrar o versor tangente T:
Simplificando cada componente:

Resposta

O versor tangente no ponto onde é aproximadamente .

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Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = i - j + e^t k
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = 3 x^2, para 0 <= x <= 2, em torno do eixo y.
integral0^3 integral0^2 integral0^x+z 6 x z d y d x d z
r(t) = <t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)>, 0 <= t <= pi
Determine o comprimento da curva dada.