Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. Então, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
depende de
,
e
, e cada uma dessas depende de
,
e
, a derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos calcular cada termo individualmente.
Passo 3
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia para
:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
pelas suas expressões em termos de
,
e
:
Substituindo:
Passo 7
Simplificando as expressões:
Passo 8
Fatorando
e usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a) .
(a)
Dadas
e
, calcule
e
.
Calcule a derivada direcional
, sendo dados:
, e
é o versor de
.
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado:
, para
, em torno do eixo
.