Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=x^2+y^2+z^2 ; x=r sen phi cos theta ; y=r sen phi sen theta ; z=r cos phi ; partial upartial r ; partial upartial phi ; partial upartial theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais da função em relação a , e , usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como depende de , e , que por sua vez dependem de , e . Então, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r + partial upartial z cdot partial zpartial r depende de , e , e cada uma dessas depende de , e , a derivada parcial de em relação a é:
Vamos calcular cada termo individualmente.

Passo 3

Primeiro, calculemos as derivadas parciais de partial upartial x = 2x, partial upartial y = 2y, partial upartial z = 2z em relação a , e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial xpartial r = sin phi cos theta, partial ypartial r = sin phi sin theta, partial zpartial r = cos phi , e em relação a :

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia para partial upartial r = 2x cdot sin phi cos theta + 2y cdot sin phi sin theta + 2z cdot cos phi :

Passo 6

Agora, substituímos x = r sin phi cos theta, y = r sin phi sin theta, z = r cos phi , partial upartial r = 2(r sin phi cos theta) cdot sin phi cos theta + 2(r sin phi sin theta) cdot sin phi sin theta + 2(r cos phi) cdot cos phi e pelas suas expressões em termos de , e :
Substituindo:

Passo 7

Simplificando as expressões:
partial upartial r = 2r sin^2 phi cos^2 theta + 2r sin^2 phi sin^2 theta + 2r cos^2 phi

Passo 8

Fatorando partial upartial r = 2r (sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) + cos^2 phi) = 2r (sin^2 phi (1) + cos^2 phi) = 2r (sin^2 phi + cos^2 phi) = 2r e usando a identidade trigonométrica :

Resposta

partial upartial r = 2r

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a) u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s.
Dadas f(s, t, u, v) = s^2 + t^3 + u^4 + v^5, g(s, t, u, v) = s + t + u + v e phi(s, t, u, v) = sen(f) * cos(g), calcule phi_t e phi_u.
Calcule a derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=x^2-3 y^2,(x0, y0)=(1,2), e u é o versor de 2 i+j.
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = 3 x^2, para 0 <= x <= 2, em torno do eixo y.