Dados os vetores u = (3, -1, 2) e v = (-2, 2, 1), calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria vetorial. Temos dois vetores e . Nosso objetivo é calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores e a altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor v. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e as fórmulas da magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a área do paralelogramo formado por e v, utilizamos a magnitude do produto vetorial desses vetores. A fórmula é:
Á

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . Usamos a definição do produto vetorial para vetores em 3 dimensões:

Passo 4

Expandindo o determinante:
Calculando cada componente:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:
Portanto,

Passo 5

Agora, calculamos a magnitude desse vetor para encontrar a área:

Passo 6

Para encontrar a altura do paralelogramo em relação à base v, usamos a fórmula:
Á
Primeiro, calculamos a magnitude de v:

Passo 7

Agora, podemos encontrar a altura:

Resposta

a) A área do paralelogramo é unidades de área.
b) A altura relativa à base v é raiz(10) unidades.

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