Dados os vetores e , calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por ;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria vetorial. Temos dois vetores e . Nosso objetivo é calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores e a altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor . Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e as fórmulas da magnitude de vetores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a área do paralelogramo formado por e , utilizamos a magnitude do produto vetorial desses vetores. A fórmula é:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Usamos a definição do produto vetorial para vetores em 3 dimensões:
Passo 4
Expandindo o determinante:
Calculando cada componente:
Componente i:
Componente j:
Componente k:
Portanto,
Passo 5
Agora, calculamos a magnitude desse vetor para encontrar a área:
Passo 6
Para encontrar a altura do paralelogramo em relação à base v, usamos a fórmula:
Á
Primeiro, calculamos a magnitude de v:
Passo 7
Agora, podemos encontrar a altura:
Resposta
a) A área do paralelogramo é unidades de área.
b) A altura relativa à base v é raiz(10) unidades.