Calcule a área limimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a área que fica limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas entre curvas no sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites de integração. Igualando
a
:
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Passo 4
Sabemos que
quando
e
. Então, os pontos de interseção são nesses valores de
.
Passo 5
Agora, vamos determinar qual das curvas está por cima da outra no intervalo de integração. Para
entre
e
, vemos que
é maior que
.
Passo 6
A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
onde
é a curva de maior raio e
a de menor raio no intervalo
.
Passo 7
Identificando
e
, e os limites de integração
e
, substituímos na fórmula:
Passo 8
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Simplificando a integral:
Passo 10
Calculando as integrais separadamente. Sabemos que:
e
Passo 11
Aplicando os limites de integração:
e
Passo 12
Substituindo de volta na fórmula da área:
Resposta
A área limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Suponha que
sejam séries com termos positivos e que
sejam convergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Calcule o comprimento das curvas:
;
Mostre que a função
definida na demonstração do Teorema 1.6.1 é uma bijeção.
Identifique a curva definida pela função vetorial
;