Calcule a área limimitada pelas curvas
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a área que fica limitada pelas curvas e . Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas entre curvas no sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites de integração. Igualando a :

Passo 3

Resolvendo a equação :

Passo 4

Sabemos que quando e . Então, os pontos de interseção são nesses valores de .

Passo 5

Agora, vamos determinar qual das curvas está por cima da outra no intervalo de integração. Para entre e , vemos que é maior que .

Passo 6

A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
onde é a curva de maior raio e a de menor raio no intervalo .

Passo 7

Identificando e , e os limites de integração e , substituímos na fórmula:

Passo 8

Expandindo :
Então, a integral fica:

Passo 9

Simplificando a integral:

Passo 10

Calculando as integrais separadamente. Sabemos que:
e

Passo 11

Aplicando os limites de integração:
e

Passo 12

Substituindo de volta na fórmula da área:

Resposta

A área limitada pelas curvas e é unidades de área.

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