Suponha que
sejam séries com termos positivos e que
sejam convergente.
(b) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries,
e
, onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série
converge, ou seja, ela soma até um número finito. A pergunta é: se para todo
,
é menor que
, o que isso significa para a série
? Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação para séries.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa uma série convergente. Quando dizemos que
converge, significa que a soma dos seus termos se aproxima de um número específico conforme adicionamos mais termos.
Passo 3
Agora, como
para todo
, isso significa que cada termo da série
é menor que o termo correspondente na série
. Imagine que estamos somando valores menores em cada passo comparado com a série
que já sabemos que converge.
Passo 4
O Teste da Comparação nos diz que se temos duas séries com termos positivos e a série maior converge, então a série menor também converge. Aqui,
é a série maior e ela converge. Como
tem termos menores que os de
, podemos concluir que
também converge.
Resposta
A série
converge porque seus termos são sempre menores que os termos de uma série convergente
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento das curvas:
;
Calcule a área limimitada pelas curvas
e
.
Mostre que a função
definida na demonstração do Teorema 1.6.1 é uma bijeção.