Suponha que sejam séries com termos positivos e que sejam convergente.
(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries, e , onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série converge, ou seja, ela soma até um número finito. A pergunta é: se para todo , é menor que , o que isso significa para a série ? Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação para séries.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa uma série convergente. Quando dizemos que converge, significa que a soma dos seus termos se aproxima de um número específico conforme adicionamos mais termos.

Passo 3

Agora, como para todo , isso significa que cada termo da série é menor que o termo correspondente na série . Imagine que estamos somando valores menores em cada passo comparado com a série que já sabemos que converge.

Passo 4

O Teste da Comparação nos diz que se temos duas séries com termos positivos e a série maior converge, então a série menor também converge. Aqui, é a série maior e ela converge. Como tem termos menores que os de , podemos concluir que também converge.

Resposta

A série converge porque seus termos são sempre menores que os termos de uma série convergente .

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;
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e .
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