Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos e que sum bn sejam convergente.
(b) Se an para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries, sum an e sum bn, onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série sum bn converge, ou seja, ela soma até um número finito. A pergunta é: se para todo n, an é menor que bn, o que isso significa para a série sum an? Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação para séries.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa uma série convergente. Quando dizemos que sum bn converge, significa que a soma dos seus termos se aproxima de um número específico conforme adicionamos mais termos.

Passo 3

Agora, como an < bn para todo n, isso significa que cada termo da série sum an é menor que o termo correspondente na série sum bn. Imagine que estamos somando valores menores em cada passo comparado com a série sum bn que já sabemos que converge.

Passo 4

O Teste da Comparação nos diz que se temos duas séries com termos positivos e a série maior converge, então a série menor também converge. Aqui, sum bn é a série maior e ela converge. Como sum an tem termos menores que os de sum bn, podemos concluir que sum an também converge.

Resposta

A série sum an converge porque seus termos são sempre menores que os termos de uma série convergente sum bn.

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