Calcule o comprimento das curvas:
;

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por para no intervalo . A matéria que vamos utilizar aqui é o Cálculo, especificamente o conceito de comprimento de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função que define a curva e depois integrar o módulo dessa derivada ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso significa derivar cada componente da função vetorial:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse vetor derivado. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 4

Com o módulo da derivada sendo 1, o comprimento da curva é a integral desse módulo de até :

Passo 5

Calculando a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto não é enumerável.
Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Suponha que sejam séries com termos positivos e que sejam convergente.
(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?
Calcule a área limimitada pelas curvas
e .