Calcule o comprimento das curvas:
r(t) = (sen(t), cos(t), 1), t in [0, pi];

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por para no intervalo . A matéria que vamos utilizar aqui é o Cálculo, especificamente o conceito de comprimento de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função que define a curva e depois integrar o módulo dessa derivada ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso significa derivar cada componente da função vetorial:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse vetor derivado. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 4

Com o módulo da derivada sendo 1, o comprimento da curva é a integral desse módulo de até :

Passo 5

Calculando a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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