Calcule o comprimento das curvas:
;
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por
para
no intervalo
. A matéria que vamos utilizar aqui é o Cálculo, especificamente o conceito de comprimento de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função que define a curva e depois integrar o módulo dessa derivada ao longo do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da função vetorial:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse vetor derivado. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 4
Com o módulo da derivada sendo 1, o comprimento da curva é a integral desse módulo de
até
:
Passo 5
Calculando a integral:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Suponha que
sejam séries com termos positivos e que
sejam convergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Calcule a área limimitada pelas curvas
e
.