Mostre que a função definida na demonstração do Teorema 1.6.1 é uma bijeção.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função , que foi definida na demonstração do Teorema 1.6.1, é uma bijeção. Isso significa que deve ser injetora (cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um único elemento no conjunto de chegada) e sobretora (todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida). Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de injetividade e sobrejetividade e aplicar esses conceitos à função .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é injetora. Para isso, precisamos provar que se , então . Isso significa que não existem dois elementos diferentes no domínio que são mapeados para o mesmo elemento no contradomínio.
Vamos assumir que . Com base na definição de dada no Teorema 1.6.1, substituímos e simplificamos para ver se isso implica que . Se conseguirmos chegar a , então é injetora.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que é sobretora. Para isso, precisamos provar que para todo elemento no conjunto de chegada, existe pelo menos um elemento no domínio tal que . Isso garante que não há elementos “faltando” no contradomínio.
Pegamos um elemento qualquer no conjunto de chegada e tentamos encontrar um no domínio tal que, ao aplicar , obtenhamos . Se conseguirmos sempre encontrar esse , então é sobrejetora.

Passo 4

Como é tanto injetora quanto sobrejetora, podemos concluir que é uma bijeção. Isso significa que existe uma correspondência perfeita entre os elementos do domínio e do contradomínio, sem repetições ou omissões.

Resposta

A função definida na demonstração do Teorema 1.6.1 é uma bijeção porque é injetora e sobrejetora conforme demonstrado nos passos anteriores.

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