Mostre que a função
definida na demonstração do Teorema 1.6.1 é uma bijeção.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função
, que foi definida na demonstração do Teorema 1.6.1, é uma bijeção. Isso significa que
deve ser injetora (cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um único elemento no conjunto de chegada) e sobretora (todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida). Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de injetividade e sobrejetividade e aplicar esses conceitos à função
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é injetora. Para isso, precisamos provar que se
, então
. Isso significa que não existem dois elementos diferentes no domínio que são mapeados para o mesmo elemento no contradomínio.
Vamos assumir que
. Com base na definição de
dada no Teorema 1.6.1, substituímos e simplificamos para ver se isso implica que
. Se conseguirmos chegar a
, então
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
é sobretora. Para isso, precisamos provar que para todo elemento
no conjunto de chegada, existe pelo menos um elemento
no domínio tal que
. Isso garante que não há elementos “faltando” no contradomínio.
Pegamos um elemento qualquer
no conjunto de chegada e tentamos encontrar um
no domínio tal que, ao aplicar
, obtenhamos
. Se conseguirmos sempre encontrar esse
, então
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é tanto injetora quanto sobrejetora, podemos concluir que
é uma bijeção. Isso significa que existe uma correspondência perfeita entre os elementos do domínio e do contradomínio, sem repetições ou omissões.
Resposta
A função
definida na demonstração do Teorema 1.6.1 é uma bijeção porque é injetora e sobrejetora conforme demonstrado nos passos anteriores.
Exercícios relacionados
Calcule a área limimitada pelas curvas
e
.
Suponha que
sejam séries com termos positivos e que
sejam convergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos respectivamente. Se
tem
elementos, mostre que
tem
elementos.