Calcule a área:
a. limitada pela curva
e pelo eixo
b. limitada pelo eixo
e pela curva
a. limitada pela curva
b. limitada pelo eixo
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da parte a do exercício. Precisamos calcular a área limitada pela curva parametrizada pelas equações
,
e pelo eixo
. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de cálculo integral, especificamente integrais definidas, para encontrar a área sob a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva dada pelas equações paramétricas
e
. Nosso objetivo é expressar
em termos de
para facilitar a integração. Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Substituindo
na equação de
:
Agora, a equação da curva em termos de
é
.
Passo 3
Para encontrar a área limitada pela curva e pelo eixo
, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde a curva cruza o eixo
. Isso acontece quando
:
Fatorando a equação:
Portanto,
ou
. Considerando que
e
, os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Avaliaremos a integral definida nos limites de
a
:
Simplificando:
Para combinar as frações, encontramos o denominador comum:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Passo 7
Agora, vamos resumir o enunciado da parte b do exercício. Precisamos calcular a área limitada pelo eixo
e pela curva parametrizada pelas equações
,
. Para resolver isso, novamente, utilizaremos integrais definidas.
Passo 8
Primeiro, entendamos a curva dada por
e
. Nosso objetivo é encontrar a relação entre
e
ou determinar os limites de integração em termos de
.
Vamos tentar expressar
em termos de
a partir de
:
Resolvendo a equação quadrática para
:
No entanto, isso complica a relação. Em vez disso, é mais simples expressar
e
em termos de
e determinar os limites de
onde a curva cruza o eixo
, ou seja, onde
.
Passo 9
Encontramos os valores de
onde
:
Portanto, os limites de
são de
a
.
Passo 10
Para calcular a área limitada pela curva e pelo eixo
, usaremos a integral de
em relação a
. Primeiramente, encontramos
e
:
A fórmula para a área parametrizada é:
Passo 11
Calculando a integral:
Podemos resolver essa integral por partes. Vamos deixar
e
. Então:
Aplicando a integração por partes:
Resolvendo a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 12
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Resposta
A área limitada pelo eixo
e pela curva
,
é
unidades quadradas.
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