Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da parte a do exercício. Precisamos calcular a área limitada pela curva parametrizada pelas equações , e pelo eixo . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de cálculo integral, especificamente integrais definidas, para encontrar a área sob a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva dada pelas equações paramétricas e . Nosso objetivo é expressar em termos de para facilitar a integração. Sabemos que , então podemos resolver para :
Substituindo na equação de :
Agora, a equação da curva em termos de é .

Passo 3

Para encontrar a área limitada pela curva e pelo eixo , precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de onde a curva cruza o eixo . Isso acontece quando :
Fatorando a equação:
Portanto, ou . Considerando que e , os limites de integração são de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Á

Passo 5

Calculando a integral:

Passo 6

Avaliaremos a integral definida nos limites de a :
Á
Simplificando:
Á
Para combinar as frações, encontramos o denominador comum:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Passo 7

Agora, vamos resumir o enunciado da parte b do exercício. Precisamos calcular a área limitada pelo eixo e pela curva parametrizada pelas equações , . Para resolver isso, novamente, utilizaremos integrais definidas.

Passo 8

Primeiro, entendamos a curva dada por e . Nosso objetivo é encontrar a relação entre e ou determinar os limites de integração em termos de .
Vamos tentar expressar em termos de a partir de :
Resolvendo a equação quadrática para :
No entanto, isso complica a relação. Em vez disso, é mais simples expressar e em termos de e determinar os limites de onde a curva cruza o eixo , ou seja, onde .

Passo 9

Encontramos os valores de onde :
Portanto, os limites de são de a .

Passo 10

Para calcular a área limitada pela curva e pelo eixo , usaremos a integral de em relação a . Primeiramente, encontramos e :
A fórmula para a área parametrizada é:
Á

Passo 11

Calculando a integral:
Podemos resolver essa integral por partes. Vamos deixar e . Então:
Aplicando a integração por partes:
Resolvendo a segunda integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 12

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Á
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo:
Á

Resposta

A área limitada pelo eixo e pela curva , é unidades quadradas.

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