Obtenha o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série infinita:
sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para determinar se uma série infinita converge ou diverge, e nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. No nosso caso, o termo geral an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)! é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série L = limn to infty | an+1an | converge se o limite:
for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! (-1)^n x^2n+1(2n+1)! :
an+1an = - x^2n+3 (2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1 = - x^2(2n+3)(2n+2)
Simplificando os sinais e as potências de | an+1an | = x^2(2n+3)(2n+2) :
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) tende ao infinito:
L = 0
Observando que, para muito grande, cresce sem limites, então:

Passo 6

Como o limite é sempre menor que 1, independentemente do valor de , concluímos que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é , ou seja, todos os números reais.

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