Obtenha o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série infinita:
Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para determinar se uma série infinita converge ou diverge, e nos ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. No nosso caso, o termo geral é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite:
for menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos calcular :
Simplificando os sinais e as potências de :
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando que, para muito grande, cresce sem limites, então:
Passo 6
Como o limite é sempre menor que 1, independentemente do valor de , concluímos que a série converge para todos os valores de .
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é , ou seja, todos os números reais.