Obtenha o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série infinita:
Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para determinar se uma série infinita converge ou diverge, e nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. No nosso caso, o termo geral é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite:
for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando os sinais e as potências de :
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando que, para muito grande, cresce sem limites, então:

Passo 6

Como o limite é sempre menor que 1, independentemente do valor de , concluímos que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é , ou seja, todos os números reais.

Exercícios relacionados

Calcule os limites seguintes:
Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Calcule os limites:
Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva