Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve limites multivariáveis e indeterminações. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e algumas propriedades de limites. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Adenominador é . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Isso ajuda muito quando estamos lidando com limites que envolvem indo para um ponto específico.
Definimos:
onde é a distância até o ponto e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo na nossa função, temos:
Aqui, simplificamos no numerador e denominador.

Passo 5

Sabemos que para valores pequenos de , . Aplicando isso no , temos:
Então, a função fica aproximada por:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando :

Resposta

O limite é igual a .

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Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva
Calcule os limites:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.