Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações: lim (x, y) (0,1) (y-1) sen xraiz4 x^2+4(y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve limites multivariáveis e indeterminações. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e algumas propriedades de limites. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Adenominador é (y-1) sen x2raizx^2 + (y-1)^2 . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Isso ajuda muito quando estamos lidando com limites que envolvem x = r cos(theta) indo para um ponto específico.
Definimos:
y - 1 = r sin(theta)
onde é a distância até o ponto e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo na nossa função, temos:
Aqui, simplificamos r sin(theta) sen(r cos(theta))2raizr^2cos^2(theta) + r^2sin^2(theta) = r sin(theta) sen(r cos(theta))2r = sen(r cos(theta)) sin(theta)2 no numerador e denominador.

Passo 5

Sabemos que para valores pequenos de sen(r cos(theta)) approx r cos(theta) , . Aplicando isso no , temos:
Então, a função fica aproximada por:
r cos(theta) sin(theta)2

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 r cos(theta) sin(theta)2 = 0 cdot cos(theta) sin(theta)2 = 0 :

Resposta

O limite é igual a .

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