Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Isso envolve limites multivariáveis e indeterminações. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e algumas propriedades de limites. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Adenominador é
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Isso ajuda muito quando estamos lidando com limites que envolvem
indo para um ponto específico.
Definimos:
onde
é a distância até o ponto
e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo na nossa função, temos:
Aqui, simplificamos
no numerador e denominador.
Passo 5
Sabemos que para valores pequenos de
, . Aplicando isso no , temos:
Então, a função fica aproximada por:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Resposta
O limite é igual a
.
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Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva
a. limitada pela curva
b. limitada pelo eixo
Calcule os limites:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.