Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e as propriedades das funções exponenciais e trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Temos duas partes principais: e .

Passo 3

Vamos começar com . A função exponencial é contínua para todo valor de , então o limite de quando se aproxima de 0 é simplesmente . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Sabemos que a tangente de um ângulo é contínua onde está definida, mas precisamos garantir que o argumento se aproxima de um valor onde a tangente não explode (isto é, não tende ao infinito). Vamos calcular o produto quando se aproxima de e se aproxima de :

Passo 5

Então, temos que:
Sabemos que .

Passo 6

Agora, juntando os resultados das duas partes, já que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem):

Resposta

O limite é .

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Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.