Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e as propriedades das funções exponenciais e trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Temos duas partes principais:
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. A função exponencial
é contínua para todo valor de
, então o limite de
quando
se aproxima de 0 é simplesmente
. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Sabemos que a tangente de um ângulo é contínua onde está definida, mas precisamos garantir que o argumento
se aproxima de um valor onde a tangente não explode (isto é, não tende ao infinito). Vamos calcular o produto
quando
se aproxima de
e
se aproxima de
:
Passo 5
Então, temos que:
Sabemos que
.
Passo 6
Agora, juntando os resultados das duas partes, já que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem):
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva
a. limitada pela curva
b. limitada pelo eixo
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.