Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y, z) (pi, 0,1 / 3) e^y^2 tan (x z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e as propriedades das funções exponenciais e trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Temos duas partes principais: e .

Passo 3

Vamos começar com limy to 0 e^y^2 = 1 . A função exponencial é contínua para todo valor de , então o limite de quando se aproxima de 0 é simplesmente . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos analisar lim(x, z) to (pi, 13) x z = pi times 13 = pi3 . Sabemos que a tangente de um ângulo é contínua onde está definida, mas precisamos garantir que o argumento se aproxima de um valor onde a tangente não explode (isto é, não tende ao infinito). Vamos calcular o produto quando se aproxima de e se aproxima de :

Passo 5

Então, temos que:
lim(x, z) to (pi, 13) tan(x z) = tan(pi3)
Sabemos que .

Passo 6

Agora, juntando os resultados das duas partes, já que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem):
lim(x, y, z) to (pi, 0, 13) e^y^2 tan(x z) = ( limy to 0 e^y^2 ) times ( lim(x, z) to (pi, 13) tan(x z) ) = 1 times raiz3 = raiz3

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados