Calcule os limites: lim (x, y) (0,0) x^3 arctan (y+3)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam-se tanto o numerador quanto o denominador quando e se aproximam de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: . Sabemos que é uma função que, para valores grandes ou pequenos de sua entrada, se aproxima de constantes. Aqui, quando se aproxima de 0, se aproxima de 3, então se aproxima de , que é uma constante.

Passo 3

Agora, olhando para o denominador: . Isso é simplesmente a soma dos quadrados de e , que também se aproxima de 0 quando ambos e se aproximam de 0.

Passo 4

Vamos então reescrever o limite considerando o que vimos:
lim(x, y) (0,0) x^3 arctan (y+3)x^2+y^2 approx lim(x, y) (0,0) x^3 cdot arctan(3)x^2+y^2
Aqui, arctan(3) cdot lim(x, y) (0,0) x^3x^2+y^2 é apenas uma constante, então podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos focar em x = r cos(theta) y = r sin(theta) . Para entender esse limite, podemos usar uma abordagem chamada Polarização, onde expressamos e em termos de coordenadas polares:
onde e é o ângulo.

Passo 6

Substituindo na expressão:
x^3x^2+y^2 = (r cos(theta))^3r^2 = r^3 cos^3(theta)r^2 = r cos^3(theta)
Agora, o limite fica:
limr 0 r cos^3(theta)
Como se aproxima de 0 e é limitado (sempre entre -1 e 1), o produto também se aproxima de 0.

Passo 7

Voltando ao nosso limite original:
arctan(3) cdot lim(x, y) (0,0) x^3x^2+y^2 = arctan(3) cdot 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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