Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está na área de Cálculo de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam-se tanto o numerador quanto o denominador quando
e
se aproximam de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador:
. Sabemos que
é uma função que, para valores grandes ou pequenos de sua entrada, se aproxima de constantes. Aqui, quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 3, então
se aproxima de
, que é uma constante.
Passo 3
Agora, olhando para o denominador:
. Isso é simplesmente a soma dos quadrados de
e
, que também se aproxima de 0 quando ambos
e
se aproximam de 0.
Passo 4
Vamos então reescrever o limite considerando o que vimos:
Aqui,
é apenas uma constante, então podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos focar em
. Para entender esse limite, podemos usar uma abordagem chamada Polarização, onde expressamos
e
em termos de coordenadas polares:
onde
e
é o ângulo.
Passo 6
Substituindo na expressão:
Agora, o limite fica:
Como
se aproxima de 0 e
é limitado (sempre entre -1 e 1), o produto
também se aproxima de 0.
Passo 7
Voltando ao nosso limite original:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Obtenha o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
Calcule os limites seguintes:
Calcule a área:
a. limitada pela curva e pelo eixo
b. limitada pelo eixo e pela curva
a. limitada pela curva
b. limitada pelo eixo
Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações: