Calcule a área:
a. limitada pela curva x = t^2 - 2t, y = raiz(t) e pelo eixo y

Passo 1

Vamos calcular a área limitada pela curva definida pelas equações paramétricas e , além do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar os valores de onde a curva intercepta o eixo . O eixo ocorre quando . Então, vamos resolver:
Fatorando:
Portanto, ou . Esses serão nossos limites de integração.

Passo 3

A fórmula para a área sob uma curva parametrizada por e de a é:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que:
Então, a derivada é:

Passo 5

Substituindo e na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão da área:

Passo 8

Avaliar a integral nos limites de a :
Para :
Unificando os denominadores:
Para , a expressão é zero. Portanto:
Como área é sempre positiva, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área limitada pela curva e pelo eixo é unidades de área.

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