Calcule a área:
a. limitada pela curva
e pelo eixo
a. limitada pela curva
Passo 1
Vamos calcular a área limitada pela curva definida pelas equações paramétricas
e
, além do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar os valores de
onde a curva intercepta o eixo
. O eixo
ocorre quando
. Então, vamos resolver:
Fatorando:
Portanto,
ou
. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 3
A fórmula para a área
sob uma curva parametrizada por
e
de
a
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que:
Então, a derivada é:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão da área:
Passo 8
Avaliar a integral nos limites de
a
:
Para
:
Unificando os denominadores:
Para
, a expressão é zero. Portanto:
Como área é sempre positiva, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área limitada pela curva e pelo eixo
é
unidades de área.