Resolva a equaçáo difenencial pelo métado de variacáo de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial onde o lado direito é zero. Resolver a homogênea é o primeiro passo para encontrar a solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 5
Agora, vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
Sabemos que a solução geral será:
Para o método de variação de parâmetros, assumimos que
tem a forma:
Onde
e
são as soluções da equação homogênea.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas:
Para simplificar, impomos:
Substituindo
e
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Integrando:
Isso pode ser resolvido por partes.
Passo 7
Calculando a integral:
Desconsiderando a constante
(pois estamos procurando uma solução particular):
Agora, usando
:
Integrando:
Desconsiderando
, temos:
Passo 8
Finalmente, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.