Resolva a equaçáo difenencial pelo métado de variacáo de parâmetros
y'' + y' = x^2 - 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial onde o lado direito é zero. Resolver a homogênea é o primeiro passo para encontrar a solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos supor que a solução tem a forma , onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 5

Agora, vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular ( ) da equação completa:
Sabemos que a solução geral será:
Para o método de variação de parâmetros, assumimos que tem a forma:
Onde e são as soluções da equação homogênea.

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas:
Para simplificar, impomos:
ãê
Substituindo e :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Integrando:
Isso pode ser resolvido por partes.

Passo 7

Calculando a integral:
Desconsiderando a constante C (pois estamos procurando uma solução particular):
Agora, usando :
Integrando:
Desconsiderando K, temos:

Passo 8

Finalmente, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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