Sejam as curvas f(x) = 4 e g(x) = x^2. Construa o gráfico da região delimitada pelas curvas e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas: e . Nosso objetivo é desenhar o gráfico da região que essas duas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interseção de curvas e como calcular áreas entre curvas usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, onde . Isso significa resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, podemos visualizar a região delimitada por elas. A curva é uma reta horizontal no nível 4, e é uma parábola que abre pra cima. Entre e , a reta está acima da parábola, formando uma espécie de “pode” entre elas.

Passo 5

Para calcular a área dessa região, usamos o conceito de integração definida, que nos permite encontrar a área entre duas curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, é a função que está acima e a que está abaixo no intervalo considerado.

Passo 6

No nosso caso, está acima de entre e . Então, aplicando a fórmula:

Passo 7

Vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Onde é a constante de integração, que não precisamos para cálculo de área.

Passo 8

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração, de a :
Isso significa que substituímos por 2 e depois por -2, e subtraímos os resultados:

Passo 9

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo as duas:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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