Sejam as curvas
e
. Construa o gráfico da região delimitada pelas curvas e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas:
e
. Nosso objetivo é desenhar o gráfico da região que essas duas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interseção de curvas e como calcular áreas entre curvas usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, onde
. Isso significa resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, podemos visualizar a região delimitada por elas. A curva
é uma reta horizontal no nível 4, e
é uma parábola que abre pra cima. Entre
e
, a reta está acima da parábola, formando uma espécie de “pode” entre elas.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, usamos o conceito de integração definida, que nos permite encontrar a área entre duas curvas. A fórmula geral para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
é a função que está acima e
a que está abaixo no intervalo considerado.
Passo 6
No nosso caso,
está acima de
entre
e
. Então, aplicando a fórmula:
Passo 7
Vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos para cálculo de área.
Passo 8
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração, de
a
:
Isso significa que substituímos
por 2 e depois por -2, e subtraímos os resultados:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo as duas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.