integral-1^3 f(x) d x, onde f(x)= x1+x^2, & se x neq 1 5, & se x=1

Passo 1

Vamos resolver a integral definida f(x) = x1+x^2, & se x neq 1 5, & se x = 1 , onde a função é dada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que têm diferentes comportamentos em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A função é definida de duas maneiras:
  1. Para todos os valores de diferente de 1, .
  2. No ponto , .
No entanto, quando calculamos a integral de uma função, pontos individuais não afetam o valor da integral. Isso ocorre porque a integral considera a área sob a curva, e um único ponto não contribui para essa área.

Passo 3

Portanto, para calcular , podemos ignorar o valor de em e considerar apenas a parte contínua da função, que é .

Passo 4

Agora, vamos integrar u = 1 + x^2 dudx = 2x Rightarrow du2 = x , dx de a . Para integrar essa função, podemos usar uma substituição simples.
Vamos fazer a substituição:

Passo 5

Reescrevendo a integral em termos de integral x1+x^2 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C :
12 ln |1 + x^2| + C
Substituindo de volta :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 12 ln (1 + x^2) ]-1^3 = 12 ln (1 + 3^2) - 12 ln (1 + (-1)^2) a = 12 ln (10) - 12 ln (2) :
\

Passo 7

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
12 ln ( 102 ) = 12 ln (5)

Resposta

A integral é igual a .

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