Calcule a integral iterada de para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso envolve o estudo de integrais iteradas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões bidimensionais. Vamos precisar configurar a integral dupla e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral dupla. A região é um quadrado com e variando de 0 a 1. Podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em e depois em :
Isso significa que vamos integrar a função em relação a de 0 a 1, e depois integrar o resultado em relação a de 0 a 1.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como e são constantes em relação a , podemos integrar cada termo separadamente:
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
A integral de é e a integral de é :
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
f)
Calcule a área limitada pelas curvas e .
Calcule a integral iterada de para
Calcule as integrais duplas e ilustre a regiāo de integraçāo:
, onde R é a regiāo limitada pelas restas e .