Calcule a área limitada por y = cos(x), y = 0, x = 0 e x = 3 pi / 2.
Resposta: 3 u.a.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o gráfico de entre e . Isso vai nos ajudar a ver exatamente qual área estamos calculando. A função começa em 1 quando , desce até -1 quando e sobe novamente até 0 em .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral que representa essa área. A área é dada por:

Passo 4

Vamos calcular a integral de . A antiderivada de é , então:
Como estamos fazendo uma integração definida, não precisamos nos preocupar com a constante .

Passo 5

Agora, avaliamos a integral nos limites de a :
Sabemos que e , então:

Passo 6

No entanto, a área não pode ser negativa. Isso acontece porque a função está abaixo do eixo em parte do intervalo de integração. Para corrigir isso, calculamos o valor absoluto da área:

Passo 7

Mas, ao observar melhor, percebemos que a função está acima do eixo de a e abaixo de a . Portanto, devemos somar as áreas positivas e negativas:

Resposta

A área delimitada pelas curvas é de 3 unidades de área.

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