Não existe valor de L que torne a função f(x) = { 1/(x-3) + 8, se x ≠ 3; L, se x = 3 } contínua em x0 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se existe algum valor de que faça a função ser contínua em . Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o limite da função quando se aproxima de 3 e comparar com o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, , e a função está definida como:

Passo 3

Vamos encontrar o limite de quando se aproxima de 3. Olhando para a parte da função onde :
Aqui, temos que analisar o comportamento de quando se aproxima de 3.

Passo 4

Se considerarmos chegando por valores maiores que 3 (por exemplo, 3.1, 3.01, etc.), é um número positivo pequeno, então tende ao . Já se chega por valores menores que 3 (como 2.9, 2.99, etc.), é um número negativo pequeno, fazendo tender a .

Passo 5

Isso significa que o limite pela direita ( ) é e o limite pela esquerda ( ) é . Como os dois limites laterais não são iguais (nem ambos finitos), o limite geral de quando se aproxima de 3 não existe.

Passo 6

Agora, para a função ser contínua em , precisaríamos que:
Mas já vimos que não existe. Então, não tem como igualar isso a .

Passo 7

Portanto, não há nenhum valor de que possa fazer a função ser contínua em .

Resposta

Não existe nenhum valor de que torne a função contínua em .

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