A função
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
E nos diz que essa função é contínua em
. Nosso objetivo é entender e verificar essa afirmação. Para isso, vamos precisar do conceito de continuidade de funções, especificamente no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
está definida? Olhando a definição da função, para
, a função é
. Como
, podemos calcular:
Então,
está definida e vale
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite de
quando
se aproxima de
existe? Para
, temos:
Vamos calcular o limite:
O limite existe e é igual a
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite é igual a
?
Como os dois valores são iguais, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Resposta:
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Não existe valor de
que torne a função
contínua em
.
Calcule a área limitada por
e
.
Resposta: 3 u.a.
Resposta: 3 u.a.