A função f(x) = { 1/(x-3) + 8, se x ≠ 3; 5, se x = 3 } é contínua em x0 = -9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
E nos diz que essa função é contínua em . Nosso objetivo é entender e verificar essa afirmação. Para isso, vamos precisar do conceito de continuidade de funções, especificamente no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: está definida? Olhando a definição da função, para , a função é . Como , podemos calcular:
Então, está definida e vale .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite de quando se aproxima de existe? Para , temos:
Vamos calcular o limite:
O limite existe e é igual a .

Passo 5

Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite é igual a ?
Como os dois valores são iguais, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^2(e^2 x+1+e^-2 x) d x Resposta: 12(e^5-e-e^4+1)
Calcule as integrais indefinidas: integral(3 x^2+5+raizx) d x Resposta: x^3+5 x+23 x^3 / 2+c
Não existe valor de L que torne a função f(x) = { 1/(x-3) + 8, se x ≠ 3; L, se x = 3 } contínua em x0 = 3.
Calcule a área limitada por y = cos(x), y = 0, x = 0 e x = 3 pi / 2.
Resposta: 3 u.a.