Calcule a área entre a parábola y = 9 - x^2 e o eixo x, determinando os limites de integração com base nos pontos de interseção com o eixo. Esboce o gráfico da parábola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área entre a parábola e o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração definida. Primeiro, precisamos encontrar onde a parábola cruza o eixo , que serão os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção da parábola com o eixo . Isso acontece quando . Então, vamos igualar a equação da parábola a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os limites de integração determinados ( e ), vamos configurar a integral definida para encontrar a área. A área entre a curva e o eixo é dada por:

Passo 5

Vamos calcular a integral agora. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Onde é a constante de integraç��o, que não precisamos considerar para a área definida.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração na antiderivada:
Primeiro, substituímos :
Depois, substituímos :

Passo 7

Subtraímos os valores obtidos:

Resposta

A área entre a parábola e o eixo é de 36 unidades quadradas.

Esboço do Gráfico

Embora eu não possa desenhar aqui, vou descrever como é o gráfico da parábola :
  • É uma parábola voltada para baixo devido ao coeficiente negativo de .
  • O vértice está no ponto .
  • Corta o eixo nos pontos e .
  • O eixo de simetria é o eixo .
Você pode desenhar um eixo e , plotar o vértice no alto, e marcar os pontos de interseção nos lados para esboçar a forma da parábola.

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