Calcule a área entre a parábola
e o eixo
, determinando os limites de integração com base nos pontos de interseção com o eixo. Esboce o gráfico da parábola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área entre a parábola
e o eixo
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração definida. Primeiro, precisamos encontrar onde a parábola cruza o eixo
, que serão os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção da parábola com o eixo
. Isso acontece quando
. Então, vamos igualar a equação da parábola a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Com os limites de integração determinados (
e
), vamos configurar a integral definida para encontrar a área. A área
entre a curva e o eixo
é dada por:
Passo 5
Vamos calcular a integral agora. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Onde
é a constante de integraç��o, que não precisamos considerar para a área definida.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração na antiderivada:
Primeiro, substituímos
:
Depois, substituímos
:
Passo 7
Subtraímos os valores obtidos:
Resposta
A área entre a parábola
e o eixo
é de 36 unidades quadradas.
Esboço do Gráfico
Embora eu não possa desenhar aqui, vou descrever como é o gráfico da parábola
:
- É uma parábola voltada para baixo devido ao coeficiente negativo de
. - O vértice está no ponto
. - Corta o eixo
nos pontos e . - O eixo de simetria é o eixo
.
Você pode desenhar um eixo
e
, plotar o vértice no alto, e marcar os pontos de interseção nos lados para esboçar a forma da parábola.
Exercícios relacionados
Considere a função dada por
. Calcule:
Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto
dado.
a) no ponto
;
a)
Seja
uma função definida como:
Ache os valores de a e b de forma tal que
exista.