Seja
uma função definida como:
Ache os valores de a e b de forma tal que
exista.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente para
e para
. Queremos encontrar os valores de
e
de modo que a derivada de
no ponto
exista. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e condições para que uma derivada exista em um ponto onde a função é definida por partes.
Passo 2
Para que a derivada
exista, as derivadas da função à esquerda de
e à direita de
precisam ser iguais. Vamos calcular essas derivadas separadamente.
Passo 3
Para
, a função é
. A derivada de
é
. Portanto, a derivada pela esquerda em
é:
Passo 4
Para
, a função é
. A derivada dessa expressão é simplesmente
, já que a derivada de
é
e a derivada de
(uma constante) é
. Assim, a derivada pela direita em
é:
Passo 5
Para que
exista, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
Então, encontramos que
.
Passo 6
Além disso, para que a derivada exista, a função também precisa ser contínua em
. Vamos garantir que os valores de
pela esquerda e pela direita de
sejam iguais.
Passo 7
Para
, temos
.
Para
,
.
Para a continuidade em
, devemos ter:
Portanto,
.
Resposta
Os valores são
e
.
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no ponto
dado.
a) no ponto
;
a)
Calcule a área entre a parábola
e o eixo
, determinando os limites de integração com base nos pontos de interseção com o eixo. Esboce o gráfico da parábola.
Avalie a integral.