Seja f uma função definida como:
f(x) = { sen(x) ; se x <= 0 ; a*x + b ; se x > 0 }
Ache os valores de a e b de forma tal que f'(0) exista.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para e para . Queremos encontrar os valores de e de modo que a derivada de no ponto exista. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e condições para que uma derivada exista em um ponto onde a função é definida por partes.

Passo 2

Para que a derivada exista, as derivadas da função à esquerda de e à direita de precisam ser iguais. Vamos calcular essas derivadas separadamente.

Passo 3

Para , a função é . A derivada de é . Portanto, a derivada pela esquerda em é:

Passo 4

Para , a função é . A derivada dessa expressão é simplesmente , já que a derivada de é e a derivada de (uma constante) é . Assim, a derivada pela direita em é:

Passo 5

Para que exista, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
Então, encontramos que .

Passo 6

Além disso, para que a derivada exista, a função também precisa ser contínua em . Vamos garantir que os valores de pela esquerda e pela direita de sejam iguais.

Passo 7

Para , temos .
Para , .
Para a continuidade em , devemos ter:
Portanto, .

Resposta

Os valores são e .

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