integral 5 x^2+2 x+3(x^2+1)(x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5 x^2+2 x+3(x^2+1)(x+3) , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é o de frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 5x^2 + 2x + 3(x^2 + 1)(x + 3) como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
5x^2 + 2x + 3(x^2 + 1)(x + 3) = Ax + Bx^2 + 1 + Cx + 3
Aqui, Ax + B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x^2 + 1)(x + 3):
5x^2 + 2x + 3 = (Ax + B)(x + 3) + C(x^2 + 1)
Expandindo o lado direito:
5x^2 + 2x + 3 = Ax^2 + 3Ax + Bx + 3B + Cx^2 + C
Agrupando os termos semelhantes:
5x^2 + 2x + 3 = (A + C)x^2 + (3A + B)x + (3B + C)
Agora, igualamos os coeficientes das potências correspondentes de x:
A + C = 5 3A + B = 2 3B + C = 3

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: C = 5 - A.
  2. Substituindo C na terceira equação:
3B + (5 - A) = 3 3B = 3 + A - 5 3B = A - 2 B = A - 23
  1. Substituindo B na segunda equação:
  1. Agora que temos 3A + A - 23 = 2 9A + A - 2 = 6 (amos por 3 para eliminar a fração) 10A = 8 A = 810 = 45 , encontramos A = 45:
C
  1. E finalmente, C = 5 - 45 = 255 - 45 = 215 :
B

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição:
5x^2 + 2x + 3(x^2 + 1)(x + 3) = 45x - 25x^2 + 1 + 215x + 3
Podemos simplificar:
= 4x - 25(x^2 + 1) + 215(x + 3)

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração do primeiro termo:
integral 4x - 25(x^2 + 1) , dx = 45 integral xx^2 + 1 , dx - 25 integral 1x^2 + 1 , dx
  • Para integral xx^2 + 1 , dx, fazemos a substituição u = x^2 + 1, então du = 2x , dx, resultando em 12 ln|x^2 + 1|.
  • Para integral 1x^2 + 1 , dx, sabemos que é tan^-1(x).
Então:
45 cdot 12 ln(x^2 + 1) - 25 tan^-1(x)
= 25 ln(x^2 + 1) - 25 tan^-1(x)
  1. Integração do segundo termo:
integral 215(x + 3) , dx = 215 ln|x + 3|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
25 ln(x^2 + 1) - 25 tan^-1(x) + 215 ln|x + 3| + C
Onde C é a constante de integração.

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