Calcule a área do paralelogramo , sendo e A D=(2,1,-1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área do paralelogramo , onde os vetores e são dados. Isso envolve um pouco de geometria vetorial, especificamente o uso do produto vetorial para encontrar a área. Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e a magnitude desse produto.
Passo 2
Primeiro, identificamos os vetores que definem o paralelogramo. Temos:
A B = (1, 0, 2)
A D = (2, 1, -1)
Esses vetores representam as arestas do paralelogramo que partem do mesmo ponto .
Passo 3
Para encontrar a área do paralelogramo, vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado) desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 ) e é dado por:
Esse produto vetorial resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores e , e o seu módulo (ou comprimento) representa a área do paralelogramo formado por e .
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial de A B times A D = i & j & k 1 & 0 & 2 2 & 1 & -1 e i(0 cdot (-1) - 2 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 2) :
= i(0 - 2) - j(-1 - 4) + k(1 - 0)
Calculando determinantes:
= -2i + 5j + 1k
Então, o produto vetorial é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor, que representa a área do paralelogramo:
| A B times A D | = raiz(-2)^2 + 5^2 + 1^2 = raiz4 + 25 + 1 = raiz30