Determine os vetores de norma 3 raiz3 que são ortogonais a baru=(1,-1,4) e a barv=(1,-3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar vetores com norma igual a que sejam ortogonais aos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com conceitos de ortogonalidade e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar vetores que são ortogonais a ambos e , podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial baru times barv = i & j & k 1 & -1 & 4 1 & -3 & 1 :
baru times barv = i((-1)(1) - (4)(-3)) - j((1)(1) - (4)(1)) + k((1)(-3) - (-1)(1))
Calculando o determinante:
baru times barv = i( -1 + 12 ) - j(1 - 4) + k(-3 + 1)
baru times barv = i(11) - j(-3) + k(-2)
baru times barv = (11, 3, -2)

Passo 4

Agora, temos um vetor ortogonal a ||barw|| = raiz11^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz121 + 9 + 4 = raiz134 e k cdot raiz134 = 3 raiz3 , que é k = 3 raiz3raiz134 . Mas precisamos vetores com norma . Primeiro, vamos encontrar a norma do vetor :
Para ajustar a norma para , vamos multiplicar o vetor por um fator de escala. Seja esse fator, então:

Passo 5

Aplicando o fator de escala ao vetor barw = pm 3 raiz3raiz134 cdot (11, 3, -2) , temos os vetores desejados:

Resposta

Os vetores de norma barw = pm 3 raiz3raiz134 cdot (11, 3, -2) ortogonais a e são:

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