UEPB - Universidade Estadual da Paraíba
Disciplina: Álgebra Linear I
Professor: Onildo Freire

1^a Lista de Exercícios - Unid. I - Espaços Vetoriais

  1. Determine os possíveis valores para k para que o conjunto B seja um conjunto LD , onde B=(2 k, 1,0),(1, k, 1),(0,1,2 k).
  2. Verifique se o conjunto abaixo é LI ou LD . Justifique sua resposta.
A=(1,2,-1),(-3,4,-1),(2,-6,2)
  1. Expresse o vetor u=(-1,4,-4,6) como combinação linear dos vetores v1=(3,-3,1,0), v2=(0,1,-1,2) e v3=(1,-1,0,0).
  2. Seu, v, w é um conjunto L.I. de um espaço vetorial V, mostre que o conjunto de vetores u+v-3 w, u+3 v-w, v+w é L.D.
  3. Mostre que os polinômios 1, x-1 e x^2-3 x+1 formam uma base de P2. Exprima o polinômio 2 x^2-5 x+6 como combinação linear dos elementos dessa base.
  4. Se o conjunto v1, v2, v3, ldots, vm é L.I., mostre que o mesmo ocorre com o conjunto de vetores v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1
  5. Determine os possíveis valores para k para que o conjunto B seja uma base do R^3, onde B=(1,0, k),(1,1, k),(1,1, k^2).
  6. Sabendo-se que beta=u, v, w é um conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial V, mostre que o conjunto U=u+v, u+w, v+w também é um conjunto de vetores L.I. de V.
  7. Verifique se W=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x+y-z=0 e 3 y-2 t=0 é um subespaço vetorial do R^4 em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Em seguida, determine a dimensão e uma base para W.
  8. Seja W=(x, y, z) in R^3 / x-2 y+4 z=0 um subespaço vetorial do R^3 em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Obtenha uma base v1, v2, v3 do R^3, tal que v1 e v2 pertençam a W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício de Álgebra Linear! O enunciado pede para determinar os possíveis valores de para que o conjunto seja um conjunto linearmente dependente (LD). Isso significa que a gente precisa descobrir para quais valores de os vetores em não são todos independentes, ou seja, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Em , se tivermos três vetores, eles são LD se o determinante da matriz formada por eles for zero. Então, nossa missão é montar essa matriz com os vetores de e calcular seu determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 2k & 1 & 0 1 & k & 1 0 & 1 & 2k com os vetores de como linhas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for igual a zero, os vetores são LD.

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 2k cdot k & 1 1 & 2k - 1 cdot 1 & 1 0 & 2k + 0 cdot 1 & k 0 & 1 :
k & 1 1 & 2k
Vamos calcular cada menor:
  1. 1 & 1 0 & 2k
  2. 1 & k 0 & 1
  3. det(A) = 2k(2k^2 - 1) - 1(2k) + 0 = 4k^3 - 2k - 2k = 4k^3 - 4k (não precisamos desse termo porque está multiplicado por 0)
Substituindo de volta:

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero. Então, igualamos a expressão encontrada a zero:
4k^3 - 4k = 0
Podemos fatorar:
4k(k^2 - 1) = 0 implies 4k(k - 1)(k + 1) = 0

Passo 6

Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Portanto, os valores de que tornam o conjunto linearmente dependente são .

Resposta

Os possíveis valores de são , e .

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