UEPB - Universidade Estadual da Paraíba
Disciplina: Álgebra Linear I
Professor: Onildo Freire
Lista de Exercícios - Unid. I - Espaços Vetoriais
Determine os possíveis valores para para que o conjunto seja um conjunto LD , onde .
Verifique se o conjunto abaixo é LI ou LD . Justifique sua resposta.
Expresse o vetor como combinação linear dos vetores , e .
é um conjunto L.I. de um espaço vetorial , mostre que o conjunto de vetores é L.D.
Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como combinação linear dos elementos dessa base.
Se o conjunto é L.I., mostre que o mesmo ocorre com o conjunto de vetores
Determine os possíveis valores para para que o conjunto seja uma base do , onde .
Sabendo-se que é um conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial , mostre que o conjunto também é um conjunto de vetores L.I. de .
Verifique se é um subespaço vetorial do em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Em seguida, determine a dimensão e uma base para .
Seja um subespaço vetorial do em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Obtenha uma base do , tal que e pertençam a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício de Álgebra Linear! O enunciado pede para determinar os possíveis valores de para que o conjunto seja um conjunto linearmente dependente (LD). Isso significa que a gente precisa descobrir para quais valores de os vetores em não são todos independentes, ou seja, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Em , se tivermos três vetores, eles são LD se o determinante da matriz formada por eles for zero. Então, nossa missão é montar essa matriz com os vetores de e calcular seu determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores de como linhas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for igual a zero, os vetores são LD.
Passo 4
Calculando o determinante de det(A) = 2k cdot k & 1 1 & 2k - 1 cdot 1 & 1 0 & 2k + 0 cdot 1 & k 0 & 1 :
k & 1 1 & 2k
Vamos calcular cada menor:
1 & 1 0 & 2k
1 & k 0 & 1
det(A) = 2k(2k^2 - 1) - 1(2k) + 0 = 4k^3 - 2k - 2k = 4k^3 - 4k (não precisamos desse termo porque está multiplicado por 0)
Substituindo de volta:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero. Então, igualamos a expressão encontrada a zero:
4k^3 - 4k = 0
Podemos fatorar:
4k(k^2 - 1) = 0 implies 4k(k - 1)(k + 1) = 0
Passo 6
Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Portanto, os valores de que tornam o conjunto linearmente dependente são .