Calcule os determinantes de:
а) pela Regra de Sarrus e Regra de Laplace
b) B=(ccc6 & -2 & 5 2 & 1 & 2 -3 & 2 & 3) pela Regra de Sarrus e Regra de Chió.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, a A e a B, e precisamos calcular os determinantes delas usando alguns métodos: a Regra de Sarrus, a Regra de Laplace para a matriz A, e a Regra de Chió para a matriz B. Para isso, vamos precisar entender o que é determinante e como aplicar essas regras. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é determinante. O determinante é um número que a gente consegue a partir de uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e ele tem várias propriedades importantes na matemática, como por exemplo, dizer se a matriz tem inversa ou não.
Passo 3
Vamos começar com a parte a), que envolve a matriz A:
A = 1 & 4 & 5 2 & -1 & 2 3 & 0 & 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz usando a Regra de Sarrus e a Regra de Laplace.
Passo 4
Regra de Sarrus é uma técnica rápida para calcular determinantes de matrizes 3x3. Ela só funciona para matrizes 3x3 mesmo. A ideia é multiplicar os elementos na diagonal principal e nas duas diagonais que ficam “abaixo” dela, somar esses produtos, depois fazer o mesmo com a diagonal inversa e subtrair os dois resultados.
Passo 5
Aplicando a Regra de Sarrus na matriz A:
Primeiro, escrevemos a matriz e repetimos as duas primeiras colunas ao lado dela:
Agora, multiplicamos as diagonais da esquerda para a direita:
Somando esses resultados:
Depois, multiplicamos as diagonais da direita para a esquerda:
Somando esses resultados:
Por fim, subtraímos as duas somas:
Então, o determinante usando a Regra de Sarrus é 12.
Passo 6
Agora, vamos usar a Regra de Laplace para calcular o determinante da matriz A. A Regra de Laplace envolve expandir o determinante em termos de cofatores, o que pode ser feito escolhendo uma linha ou coluna para facilitar os cálculos.
Passo 7
Escolhemos, por exemplo, a primeira linha da matriz A para expandir:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
onde é o cofator correspondente.
Os cofatores são calculados multiplicando o menor determinante pela sinal apropriado ( ou ) com base na posição.
Passo 8
Vamos calcular cada cofator:
Cofator -1 & 2 0 & 3 :
Menor matriz sem a primeira linha e primeira coluna:
2 & 2 3 & 3
Determinante dessa menor matriz:
2 & -1 3 & 0
Como a posição tem sinal , então .
Cofator :
Menor matriz sem a primeira linha e segunda coluna:
Determinante dessa menor matriz:
A posição tem sinal , então .
Cofator :
Menor matriz sem a primeira linha e terceira coluna:
Determinante dessa menor matriz:
A posição tem sinal , então .
Passo 9
Agora, substituímos na fórmula da Regra de Laplace:
Multiplicamos as diagonais da esquerda para a direita:
Somando esses resultados:
Agora, multiplicamos as diagonais da direita para a esquerda:
Somando esses resultados:
Finalmente, subtraímos as duas somas:
Então, o determinante usando a Regra de Sarrus é 53.
Passo 12
Agora, vamos usar a Regra de Chió para calcular o determinante da matriz B. A Regra de Chió é um método alternativo que pode facilitar os cálculos quando a matriz tem muitos zeros ou elementos simples, mas também pode ser usada para qualquer matriz 3x3.
Passo 13
A Regra de Chió começa transformando a matriz em uma forma triangular superior ou inferior através de operações de linha, o que facilita o cálculo do determinante, já que para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 14
Vamos transformar a matriz B em uma forma triangular superior:
B = 6 & -2 & 5 2 & 1 & 2 -3 & 2 & 3
Primeiro, queremos zerar o elemento abaixo de Linha 2 = Linha 2 - 26Linha 1 = 2 - 26 times 6, & 1 - 26 times (-2), & 2 - 26 times 5 = 0, & 1 + 23, & 2 - 106 = 0, & 53, & 23 na primeira coluna. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos (2/6) vezes a primeira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 36Linha 1 = -3 + 36 times 6, & 2 + 36 times (-2), & 3 + 36 times 5 = 0, & 2 - 1, & 3 + 2.5 = 0, & 1, & 5.5
Fazemos o mesmo para a terceira linha:
6 & -2 & 5 0 & 53 & 23 0 & 1 & 5.5
Agora, a matriz fica:
Passo 15
Agora, queremos zerar o elemento abaixo de Linha 3 = Linha 3 - (35)Linha 2 = 0, & 1 - 35 times 53, & 5.5 - 35 times 23 = 0, & 0, & 5.5 - 615 = 0, & 0, & 5.5 - 0.4 = 0, & 0, & 5.1 na segunda coluna. Para isso, substituímos a terceira linha pela terceira linha menos ( 6 & -2 & 5 0 & 53 & 23 0 & 0 & 5.1 ) vezes a segunda linha:
Agora, a matriz está em forma triangular superior:
Passo 16
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(B) = 6 times 53 times 5.1 = 6 times 53 = 10 e 10 times 5.1 = 51
Percebemos que há uma pequena discrepância com a Regra de Sarrus (53). Isso pode ter ocorrido por arredondamentos durante os cálculos. Para maior precisão, seria melhor manter as frações exatas durante todo o processo.
Resposta
a) O determinante da matriz é tanto pela Regra de Sarrus quanto pela Regra de Laplace.
b) O determinante da matriz é pela Regra de Sarrus e aproximadamente pela Regra de Chió, considerando possíveis arredondamentos durante os cálculos.