Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores e , sabendo que , , o ângulo formado pelos vetores é e que é a projeção do vetor sobre o vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo construído sobre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção e cálculo da área usando o produto vetorial. Vamos precisar lembrar como projetar um vetor sobre outro e como calcular a área de um paralelogramo a partir dos vetores que o formam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. A projeção do vetor sobre o vetor é um vetor que aponta na direção de e tem magnitude igual à parte de que vai na direção de . A fórmula para a projeção é:
Aqui, é essa projeção, então:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Sabemos que:
Onde , e . Então:

Passo 4

Agora, usamos esse valor para encontrar :

Passo 5

Com definida, vamos calcular o vetor . Esse vetor é simplesmente duas vezes menos três vezes :

Passo 6

A área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Á
Como é uma projeção de sobre , ela é colinear a . Portanto, o produto vetorial de com será zero. Fica sobrando apenas:
Á

Passo 7

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
E o produto vetorial é:
Então:

Passo 8

Agora, voltando à área:
Á

Resposta

A área do paralelogramo é 9 unidades de área.

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