Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores 2 u-3 v e w, sabendo que |u|=3, |v|=4, o ângulo formado pelos vetores u e v é pi4 e que w é a projeção do vetor u sobre o vetor v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo construído sobre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção e cálculo da área usando o produto vetorial. Vamos precisar lembrar como projetar um vetor sobre outro e como calcular a área de um paralelogramo a partir dos vetores que o formam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. A projeção do vetor projv(u) = ( u cdot v|v|^2 ) v sobre o vetor w = projv(u) é um vetor que aponta na direção de e tem magnitude igual à parte de que vai na direção de . A fórmula para a projeção é:
Aqui, é essa projeção, então:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) . Sabemos que:
u cdot v = 3 cdot 4 cdot cos(pi4) = 12 cdot raiz22 = 6raiz2
Onde , e . Então:

Passo 4

Agora, usamos esse valor para encontrar w = ( 6raiz24^2 ) v = ( 6raiz216 ) v = 3raiz28 v :

Passo 5

Com 2u - 3v definida, vamos calcular o vetor . Esse vetor é simplesmente duas vezes menos três vezes :

Passo 6

A área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Área = |(2u - 3v) times w| Á
Como Área = |2u times w| é uma projeção de sobre , ela é colinear a . Portanto, o produto vetorial de com será zero. Fica sobrando apenas:
Á

Passo 7

Agora, vamos calcular u times w = u times ( 3raiz28 v ) = 3raiz28 (u times v) . Sabemos que:
u times v = |u| cdot |v| cdot sin(theta) = 3 cdot 4 cdot sin(pi4) = 12 cdot raiz22 = 6raiz2
E o produto vetorial u times w = 3raiz28 cdot 6raiz2 = 18 cdot 28 = 368 = 4.5 é:
Então:

Passo 8

Agora, voltando à área:
Área = 2 cdot |u times w| = 2 cdot 4.5 = 9 Á

Resposta

A área do paralelogramo é 9 unidades de área.

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