Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores
e
, sabendo que
,
, o ângulo formado pelos vetores
é
e que
é a projeção do vetor
sobre o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo construído sobre os vetores
e
. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção e cálculo da área usando o produto vetorial. Vamos precisar lembrar como projetar um vetor sobre outro e como calcular a área de um paralelogramo a partir dos vetores que o formam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. A projeção do vetor
sobre o vetor
é um vetor que aponta na direção de
e tem magnitude igual à parte de
que vai na direção de
. A fórmula para a projeção é:
Aqui,
é essa projeção, então:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Sabemos que:
Onde
,
e
. Então:
Passo 4
Agora, usamos esse valor para encontrar
:
Passo 5
Com
definida, vamos calcular o vetor
. Esse vetor é simplesmente duas vezes
menos três vezes
:
Passo 6
A área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Como
é uma projeção de
sobre
, ela é colinear a
. Portanto, o produto vetorial de
com
será zero. Fica sobrando apenas:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
E o produto vetorial
é:
Então:
Passo 8
Agora, voltando à área:
Resposta
A área do paralelogramo é 9 unidades de área.