Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores e , sabendo que , , o ângulo formado pelos vetores é e que é a projeção do vetor sobre o vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo construído sobre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção e cálculo da área usando o produto vetorial. Vamos precisar lembrar como projetar um vetor sobre outro e como calcular a área de um paralelogramo a partir dos vetores que o formam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. A projeção do vetor sobre o vetor é um vetor que aponta na direção de e tem magnitude igual à parte de que vai na direção de . A fórmula para a projeção é:
Aqui, é essa projeção, então:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar . Sabemos que:
Onde , e . Então:
Passo 4
Agora, usamos esse valor para encontrar :
Passo 5
Com definida, vamos calcular o vetor . Esse vetor é simplesmente duas vezes menos três vezes :
Passo 6
A área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Como é uma projeção de sobre , ela é colinear a . Portanto, o produto vetorial de com será zero. Fica sobrando apenas: