Calcule e onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os determinantes das matrizes e , além de e . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 3x3 e usar algumas propriedades dos determinantes quando lidamos com produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A matriz é:
Note que é uma matriz triangular (tem zeros abaixo ou acima da diagonal principal). Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Aqui, vamos usar uma propriedade dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
Já sabemos que e . Então:

Passo 5

De forma semelhante, vamos calcular . Usando a mesma propriedade:

Resposta

Os determinantes são:

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A seguir é dado alguns conjuntos com operações de soma e multiplicação por escalar. Determine quais são espaços vetoriais e, caso algum não seja, diga quais axiomas falham.
  1. O conjunto de todos os ternos ordenados de números reais com as operações
Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores e , sabendo que , , o ângulo formado pelos vetores é e que é a projeção do vetor sobre o vetor .
Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de ?
(a) todos os vetores da forma
(b) todos os vetores da forma ( )
© todos os vetores da forma
(d) todos os vetores da forma
Diga quais das equações abaixo são lineares e quais não são.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)