Calcule det(A), det(B), det(A B) e det(A B) onde
A=[lll 2 & 1 & 0 3 & 4 & 0 0 & 0 & 2 ] e B=[rrr 1 & -1 & 3 7 & 1 & 2 5 & 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os determinantes das matrizes e , além de e . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 3x3 e usar algumas propriedades dos determinantes quando lidamos com produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 2 & 1 & 0 3 & 4 & 0 0 & 0 & 2 . A matriz det(A) = 2 times 4 times 2 = 16 é:
Note que é uma matriz triangular (tem zeros abaixo ou acima da diagonal principal). Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular B = 1 & -1 & 3 7 & 1 & 2 5 & 0 & 1 . A matriz det(B) = 1(1 times 1) + (-1)(2 times 5) + 3(7 times 0) - 3(1 times 5) - (-1)(7 times 1) - 1(2 times 0) é:
det(B) = 1(1) + (-1)(10) + 3(0) - 3(5) - (-1)(7) - 1(0) = 1 - 10 + 0 - 15 + 7 - 0 = -17
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular det(A B) = det(A) times det(B) . Aqui, vamos usar uma propriedade dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
det(A B) = 16 times (-17) = -272
Já sabemos que e . Então:

Passo 5

De forma semelhante, vamos calcular det(B A) = det(B) times det(A) = (-17) times 16 = -272 . Usando a mesma propriedade:

Resposta

Os determinantes são:
det(A) = 16, det(B) = -17, det(A B) = -272, det(B A) = -272

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