A seguir é dado alguns conjuntos com operações de soma e multiplicação por escalar. Determine quais são espaços vetoriais e, caso algum não seja, diga quais axiomas falham.
  1. O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) de números reais com as operações
(x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime)=(x+x^prime, y+y^prime, z+z^prime) e k(x, y, z)=(k x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente analisar se um conjunto de ternos ordenados com certas operações de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de espaços vetoriais e verificar se eles são satisfeitos com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são espaços vetoriais. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, ternos ordenados) que satisfaz uma série de propriedades matemáticas chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações como soma e multiplicação por escalar de maneira consistente.
Aqui estão alguns dos principais axiomas que precisamos verificar:
  1. Fechamento da Adição: A soma de dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
  2. Comutatividade da Adição: A ordem da soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da Adição: A maneira como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado.
  4. Existência do Vetor Zero: Deve existir um vetor que, somado a qualquer outro, não muda este.
  5. Existência de Inversos Aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que anula a soma.
  6. Fechamento da Multiplicação por Escalar: Multiplicar um vetor por um número real (escalar) deve resultar em outro vetor do conjunto.
  7. Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição Vetorial:
  8. Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares:
  9. Associatividade da Multiplicação por Escalar:
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:

Passo 3

Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas:
  • Soma:
  • Multiplicação por Escalar:
  1. Fechamento da Adição: Se somarmos dois ternos reais, o resultado será outro terno real. ✔️
  2. Comutatividade da Adição: . Então, . ✔️
  3. Associatividade da Adição: . Como a soma é componente a componente, isso também vale. ✔️
  4. Existência do Vetor Zero: O vetor funciona como o elemento neutro, pois . ✔️
  5. Existência de Inversos Aditivos: Para cada , existe tal que . ✔️
  6. Fechamento da Multiplicação por Escalar: Multiplicando um terno por um escalar , obtemos outro terno real. ✔️
  7. Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição Vetorial:
    Por outro lado,
    Como , essa propriedade é satisfeita. ✔️
  8. Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares:
    E
    Aqui, a segunda e terceira componentes não coincidem a não ser que . Portanto, esse axioma não é satisfeito. ❌
  9. Associatividade da Multiplicação por Escalar:
    Igualdade satisfeita. ✔️
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
    . ✔️

Resposta

O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial. O axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.

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