A seguir é dado alguns conjuntos com operações de soma e multiplicação por escalar. Determine quais são espaços vetoriais e, caso algum não seja, diga quais axiomas falham.
- O conjunto de todos os ternos ordenados
de números reais com as operações
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente analisar se um conjunto de ternos ordenados
com certas operações de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de espaços vetoriais e verificar se eles são satisfeitos com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são espaços vetoriais. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, ternos ordenados) que satisfaz uma série de propriedades matemáticas chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações como soma e multiplicação por escalar de maneira consistente.
Aqui estão alguns dos principais axiomas que precisamos verificar:
- Fechamento da Adição: A soma de dois vetores no conjunto também deve estar no conjunto.
- Comutatividade da Adição: A ordem da soma não altera o resultado.
- Associatividade da Adição: A maneira como agrupamos os vetores na soma não altera o resultado.
- Existência do Vetor Zero: Deve existir um vetor que, somado a qualquer outro, não muda este.
- Existência de Inversos Aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que anula a soma.
- Fechamento da Multiplicação por Escalar: Multiplicar um vetor por um número real (escalar) deve resultar em outro vetor do conjunto.
- Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição Vetorial:
- Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares:
- Associatividade da Multiplicação por Escalar:
- Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
Passo 3
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas:
- Soma:
- Multiplicação por Escalar:
-
Fechamento da Adição: Se somarmos dois ternos reais, o resultado será outro terno real. ✔️
-
Comutatividade da Adição:
. Então, . ✔️ -
Associatividade da Adição:
. Como a soma é componente a componente, isso também vale. ✔️ -
Existência do Vetor Zero: O vetor
funciona como o elemento neutro, pois . ✔️ -
Existência de Inversos Aditivos: Para cada
, existe tal que . ✔️ -
Fechamento da Multiplicação por Escalar: Multiplicando um terno por um escalar
, obtemos outro terno real. ✔️ -
Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição Vetorial:
Por outro lado,Como, essa propriedade é satisfeita. ✔️ -
Distribuição da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares:EAqui, a segunda e terceira componentes não coincidem a não ser que
. Portanto, esse axioma não é satisfeito. ❌ -
Associatividade da Multiplicação por Escalar:Igualdade satisfeita. ✔️
-
Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
. ✔️
Resposta
O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial. O axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.