Considere os pontos e . Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Os pontos e são vértices de um tetraedro com volume igual a 6 u.v…
(b) O vetor é um representante do versor de .
© Os pontos e são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2). A questão pede pra gente analisar três afirmações sobre esses pontos. Vamos precisar de conceitos de geometria espacial, como volume de um tetraedro, vetores e versores, e também de colinearidade. Vamos resolver passo a passo cada afirmação para ver se são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Analisando a afirmação (a):
A afirmação diz que os pontos A, B, C e D formam um tetraedro com volume igual a 6 unidades de volume.
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um sólido com quatro vértices, ou seja, os quatro pontos dados. Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula do determinante:
Vamos calcular os vetores:
Agora, montamos a matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
Calculando:
Como o determinante é zero, o volume do tetraedro é:
Isso significa que os quatro pontos não formam um tetraedro com volume diferente de zero.

Passo 3

Analisando a afirmação (b):
A afirmação diz que o vetor é um representante do versor de .
Vamos entender o que é um versor. Um versor é um vetor unitário, ou seja, tem comprimento igual a 1 e indica a direção de um vetor.
Primeiro, vamos calcular :
Agora, multiplicando por :
Esse é um versor porque:
Agora, vamos calcular :
O versor de seria:
Comparando com o vetor dado na afirmação:
Ou seja, é o versor de invertido na direção, mas ainda assim é um representante válido do versor, pois direção oposta também é uma direção válida para um versor.

Passo 4

Analisando a afirmação ©:
A afirmação diz que os pontos B, C e D são colineares.
Para verificar se três pontos são colineares, precisamos ver se os vetores e são paralelos, ou seja, se um é múltiplo do outro.
Vamos calcular e :
Agora, verificamos se existe um número tal que :
Não existe um único que satisfaça todas as equações, então os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos B, C e D não são colineares.

Resposta

(a) Falsa. Os pontos A, B, C e D não formam um tetraedro com volume igual a 6 u.v., pois o volume calculado é zero.
(b) Verdadeira. O vetor é um representante do versor de .
© Falsa. Os pontos B, C e D não são colineares.

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(a) Determine a projeção do lado sobre o lado .
(b) Obtenha, se possível, o valor de para que o vetor seja colinear ao vetor projeção.
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