Considere os pontos A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2). Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Os pontos A, B, C e D são vértices de um tetraedro com volume igual a 6 u.v…
(b) O vetor 1raiz3(A B-A D) é um representante do versor de B D.
© Os pontos B, C e D são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2). A questão pede pra gente analisar três afirmações sobre esses pontos. Vamos precisar de conceitos de geometria espacial, como volume de um tetraedro, vetores e versores, e também de colinearidade. Vamos resolver passo a passo cada afirmação para ver se são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Analisando a afirmação (a):
A afirmação diz que os pontos A, B, C e D formam um tetraedro com volume igual a 6 unidades de volume.
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um sólido com quatro vértices, ou seja, os quatro pontos dados. Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula do determinante:
V = 16 | det(AB, AC, AD) |
Vamos calcular os vetores:
AB = B - A = (-2-1, -1-1, -3-1) = (-3, -2, -4)
AC = C - A = (0-1, 2-1, -2-1) = (-1, 1, -3)
AD = D - A = (-1-1, 0-1, -2-1) = (-2, -1, -3)
Agora, montamos a matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
det -3 & -1 & -2 -2 & 1 & -1 -4 & -3 & -3 = -3 cdot (1 cdot (-3) - (-1) cdot (-3)) - (-1) cdot (-2 cdot (-3) - (-1) cdot (-4)) + (-2) cdot (-2 cdot (-3) - 1 cdot (-4))
Calculando:
= -3 cdot (-3 - 3) - (-1) cdot (6 - 4) + (-2) cdot (6 + 4)
= -3 cdot (-6) - (-1) cdot 2 + (-2) cdot 10
= 18 + 2 - 20
= 0
Como o determinante é zero, o volume do tetraedro é:
V = 16 times 0 = 0
Isso significa que os quatro pontos não formam um tetraedro com volume diferente de zero.

Passo 3

Analisando a afirmação (b):
A afirmação diz que o vetor AB = (-3, -2, -4) é um representante do versor de AD = (-2, -1, -3) .
Vamos entender o que é um versor. Um versor é um vetor unitário, ou seja, tem comprimento igual a 1 e indica a direção de um vetor.
Primeiro, vamos calcular AB - AD = (-3 - (-2), -2 - (-1), -4 - (-3)) = (-1, -1, -1) :
1raiz3(-1, -1, -1) = ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 )
raiz( -1raiz3 )^2 + ( -1raiz3 )^2 + ( -1raiz3 )^2 = raiz 13 + 13 + 13 = raiz1 = 1
BD = D - B = (-1 - (-2), 0 - (-1), -2 - (-3)) = (1, 1, 1)
Agora, multiplicando por 1raiz3(1, 1, 1) = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) :
( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = - 1raiz3(1,1,1)
Esse é um versor porque:
Agora, vamos calcular :
O versor de seria:
Comparando com o vetor dado na afirmação:
Ou seja, é o versor de invertido na direção, mas ainda assim é um representante válido do versor, pois direção oposta também é uma direção válida para um versor.

Passo 4

Analisando a afirmação ©:
A afirmação diz que os pontos B, C e D são colineares.
Para verificar se três pontos são colineares, precisamos ver se os vetores BC = C - B = (0 - (-2), 2 - (-1), -2 - (-3)) = (2, 3, 1) e BD = D - B = (-1 - (-2), 0 - (-1), -2 - (-3)) = (1, 1, 1) são paralelos, ou seja, se um é múltiplo do outro.
Vamos calcular (2, 3, 1) = k cdot (1, 1, 1) Rightarrow 2 = k, 3 = k, 1 = k e :
Agora, verificamos se existe um número tal que :
Não existe um único que satisfaça todas as equações, então os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos B, C e D não são colineares.

Resposta

(a) Falsa. Os pontos A, B, C e D não formam um tetraedro com volume igual a 6 u.v., pois o volume calculado é zero.
(b) Verdadeira. O vetor é um representante do versor de .
© Falsa. Os pontos B, C e D não são colineares.

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