Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2). A questão pede pra gente analisar três afirmações sobre esses pontos. Vamos precisar de conceitos de geometria espacial, como volume de um tetraedro, vetores e versores, e também de colinearidade. Vamos resolver passo a passo cada afirmação para ver se são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Analisando a afirmação (a):
A afirmação diz que os pontos A, B, C e D formam um tetraedro com volume igual a 6 unidades de volume.
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um sólido com quatro vértices, ou seja, os quatro pontos dados. Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula do determinante:
V = 16 | det(AB, AC, AD) |
Vamos calcular os vetores:
AB = B - A = (-2-1, -1-1, -3-1) = (-3, -2, -4)
AC = C - A = (0-1, 2-1, -2-1) = (-1, 1, -3)
AD = D - A = (-1-1, 0-1, -2-1) = (-2, -1, -3)
Agora, montamos a matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
Ou seja, é o versor de invertido na direção, mas ainda assim é um representante válido do versor, pois direção oposta também é uma direção válida para um versor.
A afirmação diz que os pontos B, C e D são colineares.
Para verificar se três pontos são colineares, precisamos ver se os vetores BC = C - B = (0 - (-2), 2 - (-1), -2 - (-3)) = (2, 3, 1) e BD = D - B = (-1 - (-2), 0 - (-1), -2 - (-3)) = (1, 1, 1) são paralelos, ou seja, se um é múltiplo do outro.
Vamos calcular (2, 3, 1) = k cdot (1, 1, 1) Rightarrow 2 = k, 3 = k, 1 = k e :
Agora, verificamos se existe um número tal que :
Não existe um único que satisfaça todas as equações, então os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos B, C e D não são colineares.
Resposta
(a) Falsa. Os pontos A, B, C e D não formam um tetraedro com volume igual a 6 u.v., pois o volume calculado é zero.
(b) Verdadeira. O vetor é um representante do versor de .