Calcule a área do paralelogramo cujos lados são os vetores u=(2,3,-1) e v=(1,4,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo que tem como lados os vetores u = (2, 3, -1) e v = (1, 4, 3). Para isso, vamos usar o conteúdo de produtos vetoriais que ajuda a encontrar a área quando temos dois vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de um paralelogramo definidos por dois vetores, a gente pode calcular o produto vetorial desses vetores e depois achar o módulo (ou seja, o tamanho) desse produto. O produto vetorial u times v resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e o módulo desse vetor nos dá justamente a área do paralelogramo.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. A fórmula para o produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
u times v = ( 3 cdot 3 - (-1) cdot 4, (-1) cdot 1 - 2 cdot 3, 2 cdot 4 - 3 cdot 1 )

Passo 4

Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
3 cdot 3 - (-1) cdot 4 = 9 + 4 = 13
  1. Segunda componente:
(-1) cdot 1 - 2 cdot 3 = -1 - 6 = -7
  1. Terceira componente:
2 cdot 4 - 3 cdot 1 = 8 - 3 = 5
Então, o produto vetorial é:
u times v = (13, -7, 5)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor para saber a área do paralelogramo. O módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é dado por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
|u times v| = raiz13^2 + (-7)^2 + 5^2 = raiz169 + 49 + 25 = raiz243
Podemos simplificar raiz243:
raiz243 = raiz81 times 3 = raiz81 times raiz3 = 9raiz3

Resposta

A área do paralelogramo é 9raiz3 unidades de área.

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