Considere o elipsoide E1 que passa pelos pontos (2,0,0),(0,3,0) e (0,0,-4). Determine um outro elipsoide E2 onde a e b são iguais ao elipsoide E1 e c é o dobro do elipsoide E1.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Temos um elipsoide que passa pelos pontos , e . Nosso objetivo é determinar um segundo elipsoide onde os semieixos e são iguais aos de e o semieixo é o dobro do de . Para resolver isso, vamos precisar entender a equação geral de um elipsoide e como os pontos fornecidos influenciam seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, recordemos a equação geral de um elipsoide centralizado na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Aqui, , e são os semieixos do elipsoide nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Sabemos que o elipsoide 2^2a^2 + 0^2b^2 + 0^2c^2 = 1 implies 4a^2 = 1 implies a^2 = 4 implies a = 2 passa pelo ponto . Vamos substituir esse ponto na equação do elipsoide para encontrar o valor de :

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto 0^2a^2 + 3^2b^2 + 0^2c^2 = 1 implies 9b^2 = 1 implies b^2 = 9 implies b = 3 para encontrar o valor de :

Passo 5

Em seguida, utilizamos o ponto 0^2a^2 + 0^2b^2 + (-4)^2c^2 = 1 implies 16c^2 = 1 implies c^2 = 16 implies c = 4 para determinar o valor de :

Passo 6

Agora que temos os valores de , e para o elipsoide , vamos determinar o elipsoide onde e permanecem iguais e é o dobro, ou seja, .

Resposta

O elipsoide x^22^2 + y^23^2 + z^28^2 = 1 ou x^24 + y^29 + z^264 = 1 é dado pela seguinte equação:

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