Localize os pontos A=(2,2,1), B=(1,1,3) e C=(0,0,9) com relação à esfera de equação x^2+y^2+z^2-2 x-4 y-6 z+9=0. (Isto é, decida se os pontos estão fora, dentro ou sobre a esfera).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma esfera definida pela equação e três pontos , e . Precisamos descobrir se cada um desses pontos está dentro, sobre ou fora da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio da esfera a partir da equação dada e como calcular a distância de um ponto ao centro da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera na forma padrão, que é x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 - 6z = -9 , onde (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 = -9 é o centro da esfera e (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 5 é o raio.
Para isso, completamos o quadrado para os termos de , e :
Completando o quadrado:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é e o raio é .

Passo 3

Agora, para cada ponto dado, vamos calcular a distância até o centro da esfera usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
d = raiz(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2
Depois, vamos comparar essa distância com o raio:
  • Se , o ponto está dentro da esfera.
  • Se , o ponto está sobre a esfera.
  • Se , o ponto está fora da esfera.

Passo 4

Vamos calcular a distância do ponto dA = raiz(2 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 3)^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5 até o centro :
Comparando com o raio , temos , então o ponto A está sobre a esfera.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto dB = raiz(1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (3 - 3)^2 = raiz0 + 1 + 0 = raiz1 = 1 até o centro :
Como , o ponto B está dentro da esfera.

Passo 6

Por fim, calculamos a distância do ponto dC = raiz(0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (9 - 3)^2 = raiz1 + 4 + 36 = raiz41 até o centro :
Como , o ponto C está fora da esfera.

Resposta

  • O ponto A está sobre a esfera.
  • O ponto B está dentro da esfera.
  • O ponto C está fora da esfera.

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