Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores _
Engenharia Nuclear
u=(1,1,1) e v=(2,3,4). Calculetambém a altura relativa a base definida pelo vetor u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores e . Além disso, precisamos encontrar a altura relativa à base definida pelo vetor . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e magnitude de vetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores, usamos o produto vetorial (ou produto cruzado) desses vetores. O produto vetorial de e , denotado por , resulta em um novo vetor cuja magnitude (tamanho) é igual à área do paralelogramo formado por e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 . Para isso, usamos a seguinte fórmula:
u times v = i(1 cdot 4 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 4 - 1 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 1 cdot 2) = i(1) - j(2) + k(1) = (1, -2, 1)
Calculando o determinante:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante para obter a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor | w | = raizwx^2 + wy^2 + wz^2 é dada por:
| u times v | = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Aplicando isso ao nosso vetor :
Então, a área do paralelogramo é unidades de área.

Passo 5

Para encontrar a altura relativa à base definida pelo vetor Área = Base times A, usamos a relação entre área, base e altura. A fórmula é:
| u | = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 Á
Aqui, a “Base” é o comprimento do vetor A, e queremos descobrir a “Altura”. Primeiro, calculamos a magnitude de :
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar a altura:
Á

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área e a altura relativa à base definida por é unidades de comprimento.

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