Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u=(1,-1,4) e v=(3,2, -2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a dois vetores dados: e . Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 ) e . A fórmula do produto vetorial é:
Isso nos dá um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos vetores que temos:
u = (1, -1, 4) v = (3, 2, -2)
Calculando cada componente do produto vetorial:
  1. Primeira componente:
u2 v3 - u3 v2 = (-1) times (-2) - 4 times 2 = 2 - 8 = -6
  1. Segunda componente:
u3 v1 - u1 v3 = 4 times 3 - 1 times (-2) = 12 + 2 = 14
  1. Terceira componente:
u1 v2 - u2 v1 = 1 times 2 - (-1) times 3 = 2 + 3 = 5

Passo 4

Agora, juntando as componentes que calculamos, o vetor ortogonal a ambos u times v = (-6, 14, 5) e é:

Resposta

Um vetor ortogonal a ambos e é .

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