Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(1,2,3) e v=(2,1,1). Resposta: raiz35

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores u = (1,2,3) e v = (2,1,1). A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial, para encontrar essa área. Então, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e depois encontrar o módulo desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial dos vetores u e v. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e cuja magnitude representa a área do paralelogramo formado por eles.

Passo 3

A fórmula do produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Vamos aplicar isso aos nossos vetores.

Passo 4

Substituindo os valores de u e v na fórmula:
u times v = ( 2 cdot 1 - 3 cdot 1, 3 cdot 2 - 1 cdot 1, 1 cdot 1 - 2 cdot 2 ) = (-1, 5, -3)

Passo 5

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo. A fórmula do módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2

Passo 6

Aplicando a fórmula ao vetor (-1, 5, -3):
|u times v| = raiz(-1)^2 + 5^2 + (-3)^2 = raiz1 + 25 + 9 = raiz35

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é raiz35.

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