Dois vetores formam um ângulo de 120. Seus módulos são, respectivamente, 6 e 2.Calcule o módulo da soma e o módulo da diferen ça destes vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois vetores que formam um ângulo de 120 graus entre eles, com módulos (ou seja, tamanhos) de 6 e 2 unidades, respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir o módulo da soma desses dois vetores e também o módulo da diferença entre eles. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria aplicada a vetores, especificamente a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o módulo da soma de dois vetores, podemos usar a seguinte fórmula:
|A + B| = raiz|A|^2 + |B|^2 + 2|A||B|cos(theta)
Aqui, e são os módulos dos vetores, e é o ângulo entre eles. No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular o módulo da soma:
|A + B| = raiz6^2 + 2^2 + 2 times 6 times 2 times cos(120^circ)
Sabemos que |A + B| = raiz36 + 4 + 2 times 6 times 2 times (-0,5) = raiz36 + 4 - 12 = raiz28 approx 5,29 , então substituímos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo da diferença dos vetores. A fórmula é similar, mas com um sinal negativo na frente do termo do cosseno:
|A - B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cos(theta)
Usando os mesmos valores:
|A - B| = raiz6^2 + 2^2 - 2 times 6 times 2 times cos(120^circ)
Substituindo |A - B| = raiz36 + 4 - 2 times 6 times 2 times (-0,5) = raiz36 + 4 + 12 = raiz52 approx 7,21 :

Resposta

O módulo da soma dos vetores é aproximadamente 5,29 unidades e o módulo da diferença dos vetores é aproximadamente 7,21 unidades.

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