Considere os pontos A=(1,2,2), B=(2,4,3), C=(-1,4,2), D=(7,1,3) e E=(-4,16,5). Determine a area do paralelogramo que possui A, B e C como vértices.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a área de um paralelogramo que tem os pontos , e como vértices. Vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço para resolver isso. Precisaremos calcular vetores que representam os lados do paralelogramo e depois encontrar a área usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais vetores representam os lados do paralelogramo. Vamos considerar AB = B - A = (2-1, 4-2, 3-2) = (1, 2, 1) e como os dois vetores que formam os lados a partir do ponto .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor AC = C - A = (-1-1, 4-2, 2-2) = (-2, 2, 0) :

Passo 4

Com os vetores Área = |AB times AC| e encontrados, vamos usar o produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo. A área é dada pelo módulo do produto vetorial desses dois vetores:
Á

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k 1 & 2 & 1 -2 & 2 & 0 :
= i(2 cdot 0 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 0 - 1 cdot (-2)) + k(1 cdot 2 - 2 cdot (-2))
= i(0 - 2) - j(0 + 2) + k(2 + 4)
= -2i - 2j + 6k
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor para obter a área:
|AB times AC| = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + 6^2 = raiz4 + 4 + 36 = raiz44 = 2raiz11

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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