Mostre que, para quaisquer vetores u, v e w vale (u times v) times w=(u cdot w) v-(v, w) u.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores: u, v e w. O exercício quer que a gente mostre que o produto vetorial duplo (u times v) times w é igual a (u cdot w) v - (v cdot w) u. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos produtos vetorial e escalar (ou produto ponto).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Quando a gente faz u times v, estamos encontrando um vetor que é perpendicular tanto a u quanto a v. Agora, temos que fazer esse resultado cruz com w: (u times v) times w.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos usar a propriedade conhecida como identidade do produto vetorial duplo, que diz:
(a times b) times c = (a cdot c) b - (b cdot c) a
Essa identidade nos ajuda a simplificar o produto vetorial duplo sem precisar calcular as componentes explicitamente.

Passo 4

Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde a = u, b = v e c = w, temos:
(u times v) times w = (u cdot w) v - (v cdot w) u
Isso mostra exatamente o que a questão pediu para demonstrar.

Resposta

Portanto, mostramos que:
(u times v) times w = (u cdot w) v - (v cdot w) u

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