Mostre que, para quaisquer vetores
e
vale
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
,
e
. O exercício quer que a gente mostre que o produto vetorial duplo
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos produtos vetorial e escalar (ou produto ponto).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Quando a gente faz
, estamos encontrando um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Agora, temos que fazer esse resultado cruz com
:
.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos usar a propriedade conhecida como identidade do produto vetorial duplo, que diz:
Essa identidade nos ajuda a simplificar o produto vetorial duplo sem precisar calcular as componentes explicitamente.
Passo 4
Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde
,
e
, temos:
Isso mostra exatamente o que a questão pediu para demonstrar.
Resposta
Portanto, mostramos que: