Dados os vetores u=(1,1,-1) e v=(-1,2,1). Determinar o vetor w tal que u=v times w e w é ortogonal ao eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar um vetor w tal que o produto vetorial de v e w resulte no vetor u. Além disso, w precisa ser ortogonal ao eixo dos x. Aqui, estamos trabalhando com vetores e produtos vetoriais na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial e as condições de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que w é ortogonal ao eixo dos x. O eixo dos x é representado pelo vetor (1, 0, 0). Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, temos:
w cdot (1, 0, 0) = 0
Isso implica que a primeira componente de w deve ser zero. Vamos chamar w de (0, wy, wz).

Passo 3

Agora, sabemos que u = v times w. Vamos escrever isso usando as componentes dos vetores:
v = (-1, 2, 1)
w = (0, wy, wz)
u = (1, 1, -1)
O produto vetorial v times w é calculado da seguinte forma:
v times w = i & j & k -1 & 2 & 1 0 & wy & wz
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
(2)(wz) - (1)(wy) = 2wz - wy
  • Componente j:
- [(-1)(wz) - (1)(0)] = - (-wz) = wz
  • Componente k:
(-1)(wy) - (2)(0) = -wy
Então,
v times w = (2wz - wy, wz, -wy)

Passo 4

Sabemos que v times w = u = (1, 1, -1). Então, igualando as componentes:
2wz - wy = 1 (1)
wz = 1 (2)
-wy = -1 (3)

Passo 5

Vamos resolver as equações passo a passo. Da equação (2):
wz = 1
Da equação (3):
-wy = -1 Rightarrow wy = 1
Agora, substituímos wy e wz na equação (1):
2(1) - 1 = 1 Rightarrow 2 - 1 = 1
1 = 1
Tudo confere!

Resposta

O vetor w que satisfaz u = v times w e é ortogonal ao eixo dos x é:
w = (0, 1, 1)

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