Dados os vetores e . Determinar o vetor tal que e é ortogonal ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar um vetor tal que o produto vetorial de e resulte no vetor . Além disso, precisa ser ortogonal ao eixo dos . Aqui, estamos trabalhando com vetores e produtos vetoriais na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial e as condições de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que é ortogonal ao eixo dos . O eixo dos é representado pelo vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, temos:
Isso implica que a primeira componente de deve ser zero. Vamos chamar de .
Passo 3
Agora, sabemos que . Vamos escrever isso usando as componentes dos vetores:
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Vamos calcular cada componente:
Componente i:
(2)(wz) - (1)(wy) = 2wz - wy
Componente j:
- [(-1)(wz) - (1)(0)] = - (-wz) = wz
Componente k:
(-1)(wy) - (2)(0) = -wy
Então,
v times w = (2wz - wy, wz, -wy)
Passo 4
Sabemos que v times w = u = (1, 1, -1). Então, igualando as componentes:
2wz - wy = 1 (1)
wz = 1 (2)
-wy = -1 (3)
Passo 5
Vamos resolver as equações passo a passo. Da equação (2):
wz = 1
Da equação (3):
-wy = -1 Rightarrow wy = 1
Agora, substituímos wy e wz na equação (1):
2(1) - 1 = 1 Rightarrow 2 - 1 = 1
1 = 1
Tudo confere!
Resposta
O vetor w que satisfaz u = v times w e é ortogonal ao eixo dos x é: