Dados os vetores e . Determinar o vetor tal que e é ortogonal ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar um vetor tal que o produto vetorial de e resulte no vetor . Além disso, precisa ser ortogonal ao eixo dos . Aqui, estamos trabalhando com vetores e produtos vetoriais na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial e as condições de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que é ortogonal ao eixo dos . O eixo dos é representado pelo vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, temos:
Isso implica que a primeira componente de deve ser zero. Vamos chamar de .

Passo 3

Agora, sabemos que . Vamos escrever isso usando as componentes dos vetores:
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Vamos calcular cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 4

Sabemos que . Então, igualando as componentes:

Passo 5

Vamos resolver as equações passo a passo. Da equação (2):
Da equação (3):
Agora, substituímos e na equação (1):
Tudo confere!

Resposta

O vetor que satisfaz e é ortogonal ao eixo dos é:

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(d)
8
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(a) .
9
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