8 Dados os vetores , calcule os seguintes vetores em termos de e : (a) .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores dados em termos das componentes unitárias , e . O objetivo aqui é calcular o produto vetorial entre os vetores e . Para resolver isso, vamos utilizar a definição de produto vetorial e as regras para calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. O produto vetorial de dois vetores e é dado pelo determinante da seguinte matriz:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores e : Portanto, temos: , , , ,

Passo 4

Substituindo essas componentes na matriz do determinante, temos:

Passo 5

Calculando o determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos expandir pela primeira linha:

Passo 6

Calculando os menores determinantes: Para : Para : Para :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão: Simplificando os sinais:

Resposta

O vetor é igual a .

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9 Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .
Determine (c)