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Dados os vetores u=-i+2 k, v=2 i+j-k e w=i+2 j+2 k, calcule os seguintes vetores em termos de i, j e k :
(a) u times v.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores dados em termos das componentes unitárias i, j e k. O objetivo aqui é calcular o produto vetorial entre os vetores u e v. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de produto vetorial e as regras para calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. O produto vetorial u times v de dois vetores u = ux i + uy j + uz k e v = vx i + vy j + vz k é dado pelo determinante da seguinte matriz:
u times v = i & j & k ux & uy & uz vx & vy & vz

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores u e v:
u = -i + 0j + 2k
v = 2i + j - k
Portanto, temos:
ux = -1, uy = 0, uz = 2
vx = 2, vy = 1, vz = -1

Passo 4

Substituindo essas componentes na matriz do determinante, temos:
u times v = i & j & k -1 & 0 & 2 2 & 1 & -1

Passo 5

Calculando o determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos expandir pela primeira linha:
u times v = i 0 & 2 1 & -1 - j -1 & 2 2 & -1 + k -1 & 0 2 & 1

Passo 6

Calculando os menores determinantes:
Para i:
0 & 2 1 & -1 = (0)(-1) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
Para j:
-1 & 2 2 & -1 = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3
Para k:
-1 & 0 2 & 1 = (-1)(1) - (0)(2) = -1 - 0 = -1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
u times v = i (-2) - j (-3) + k (-1)
Simplificando os sinais:
u times v = -2i + 3j - k

Resposta

O vetor u times v é igual a -2i + 3j - k.

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