Calcule a área do paralelogramo em que três de seus vértices consecutivos são A(1,0,1), B(2,1,3) e C(3,2,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar os vértices consecutivos , e . Vamos precisar trabalhar com vetores e o produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do paralelogramo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (2-1, 1-0, 3-1) = (1, 1, 2) e AC = C - A = (3-1, 2-0, 5-1) = (2, 2, 4) .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB times AC = i & j & k 1 & 1 & 2 2 & 2 & 4 e AB times AC = i(1 cdot 4 - 2 cdot 2) - j(1 cdot 4 - 2 cdot 2) + k(1 cdot 2 - 1 cdot 2) . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o módulo desse vetor será a área do paralelogramo.
AB times AC = i(4 - 4) - j(4 - 4) + k(2 - 2)
Calculando o determinante:
AB times AC = 0

Passo 4

O próximo passo é encontrar o módulo do vetor resultante do produto vetorial, que nos dará a área do paralelogramo.
Área = | AB times AC | = | 0 | = 0 Á

Resposta

A área do paralelogramo é unidades quadradas.

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