Demonstre que se e são vetores quaisquer, então

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que, para quaisquer vetores e , o quadrado da norma do produto vetorial é igual ao determinante de uma matriz formada pelos produtos escalares desses vetores. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial, produto escalar e determinantes de matrizes. Vamos precisar entender essas definições e como elas se relacionam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Para dois vetores e no espaço tridimensional, o produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. O módulo (ou norma) desse vetor é dado por:
onde é o ângulo entre e . Assim, o quadrado desse módulo será:

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto escalar entre os mesmos vetores. O produto escalar é dado por:
A partir dessa equação, podemos isolar :
E sabemos que:

Passo 4

Substituindo a expressão de na equação do quadrado do módulo do produto vetorial, temos:
Simplificando, isso fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante da matriz apresentada no enunciado:
Sabendo que e , podemos reescrever o determinante como:

Resposta

Assim, mostramos que:

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Determine o ângulo entre os seguintes pares de vetores :
Considerando as matrizes e calcule:
Considerando as matrizes e calcule:
Calcule a área do paralelogramo em que três de seus vértices consecutivos são e .