Demonstre que se a e b são vetores quaisquer, então
|a times b|^2=|ll a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b |

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que, para quaisquer vetores a e b, o quadrado da norma do produto vetorial |a times b|^2 é igual ao determinante de uma matriz formada pelos produtos escalares desses vetores. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial, produto escalar e determinantes de matrizes. Vamos precisar entender essas definições e como elas se relacionam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Para dois vetores a e b no espaço tridimensional, o produto vetorial a times b resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. O módulo (ou norma) desse vetor é dado por:
|a times b| = |a|, |b|, sintheta
onde theta é o ângulo entre a e b. Assim, o quadrado desse módulo será:
|a times b|^2 = |a|^2 |b|^2 sin^2theta

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto escalar entre os mesmos vetores. O produto escalar é dado por:
a cdot b = |a| |b| costheta
A partir dessa equação, podemos isolar costheta:
costheta = a cdot b|a| |b|
E sabemos que:
sin^2theta = 1 - cos^2theta = 1 - ( a cdot b|a| |b| )^2

Passo 4

Substituindo a expressão de sin^2theta na equação do quadrado do módulo do produto vetorial, temos:
|a times b|^2 = |a|^2 |b|^2 ( 1 - ( a cdot b|a| |b| )^2 )
Simplificando, isso fica:
|a times b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a cdot b)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante da matriz apresentada no enunciado:
D = a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b = (a cdot a)(b cdot b) - (a cdot b)^2
Sabendo que a cdot a = |a|^2 e b cdot b = |b|^2, podemos reescrever o determinante como:
D = |a|^2 |b|^2 - (a cdot b)^2

Resposta

Assim, mostramos que:
|a times b|^2 = a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b

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