Calcule os produtos , e quando e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular vários produtos entre os vetores , e . Os tipos de produtos que vamos abordar são:
  1. Produto escalar ( e )
  2. Produto vetorial ( e )
  3. Produto misto ( )
  4. Produto vetorial de produtos vetoriais ( )
  5. Produto escalar de produtos vetoriais ( )
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender as definições e as fórmulas de cada tipo de produto. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar entre e , ou seja, .
O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Agora, substituindo os componentes de e :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e , ou seja, .
Usando a mesma fórmula:
Substituindo os componentes:
Então:

Passo 4

Vamos calcular agora o produto vetorial entre e , ou seja, .
O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Calculando o determinante:
Observamos que as duas linhas abaixo dos vetores são iguais, o que significa que o determinante será zero. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e , ou seja, .
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular o produto misto .
O produto misto, também conhecido como triplo produto escalar, é dado por:
Já calculamos no passo anterior:
Então, agora fazemos o produto escalar entre e :
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial de produtos vetoriais: .
Já sabemos que (do passo 4) e (do passo 5).
Então:
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com o vetor nulo é o vetor nulo. Portanto:

Passo 8

Por último, vamos calcular o produto escalar de produtos vetoriais: .
Como já vimos:
Então:
O produto escalar de qualquer vetor com o vetor nulo é zero. Portanto:

Resposta

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