Calcule os produtos a cdot b, b cdot c, a times b, b times c,[a, b, c], (a times b) times(b times c) e (a times b) cdot(b times c) quando a=2 i-j+3 k, b=2 i-j+3 k e c=i+2 j-2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular vários produtos entre os vetores a, b e c. Os tipos de produtos que vamos abordar são:
  1. Produto escalar ( a cdot b e b cdot c)
  2. Produto vetorial ( a times b e b times c)
  3. Produto misto ( [a, b, c])
  4. Produto vetorial de produtos vetoriais ( ( a times b ) times ( b times c ))
  5. Produto escalar de produtos vetoriais ( ( a times b ) cdot ( b times c ))
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender as definições e as fórmulas de cada tipo de produto. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar entre a e b, ou seja, a cdot b.
O produto escalar entre dois vetores u = ux i + uy j + uz k e v = vx i + vy j + vz k é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Agora, substituindo os componentes de a e b:
a = 2i - j + 3k b = 2i - j + 3k
Então:
a cdot b = (2)(2) + (-1)(-1) + (3)(3) = 4 + 1 + 9 = 14

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre b e c, ou seja, b cdot c.
Usando a mesma fórmula:
b cdot c = bx cx + by cy + bz cz
Substituindo os componentes:
b = 2i - j + 3k c = i + 2j - 2k
Então:
b cdot c = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-2) = 2 - 2 - 6 = -6

Passo 4

Vamos calcular agora o produto vetorial entre a e b, ou seja, a times b.
O produto vetorial entre dois vetores u e v é dado por:
u times v = i & j & k ux & uy & uz vx & vy & vz
Calculando o determinante:
a times b = i & j & k 2 & -1 & 3 2 & -1 & 3
Observamos que as duas linhas abaixo dos vetores são iguais, o que significa que o determinante será zero. Portanto:
a times b = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre b e c, ou seja, b times c.
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
b times c = i & j & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & -2
Calculando o determinante:
b times c = i [(-1)(-2) - (3)(2)] - j [(2)(-2) - (3)(1)] + k [(2)(2) - (-1)(1)]
Simplificando:
b times c = i [2 - 6] - j [-4 - 3] + k [4 + 1] b times c = i (-4) - j (-7) + k (5) b times c = -4i + 7j + 5k

Passo 6

Vamos calcular o produto misto [a, b, c].
O produto misto, também conhecido como triplo produto escalar, é dado por:
[a, b, c] = a cdot (b times c)
Já calculamos b times c no passo anterior:
b times c = -4i + 7j + 5k
Então, agora fazemos o produto escalar entre a e b times c:
a = 2i - j + 3k a cdot (b times c) = (2)(-4) + (-1)(7) + (3)(5) = -8 -7 +15 = 0
Então:
[a, b, c] = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial de produtos vetoriais: (a times b) times (b times c).
Já sabemos que a times b = 0 (do passo 4) e b times c = -4i + 7j + 5k (do passo 5).
Então:
(a times b) times (b times c) = 0 times (-4i + 7j + 5k)
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com o vetor nulo 0 é o vetor nulo. Portanto:
(a times b) times (b times c) = 0

Passo 8

Por último, vamos calcular o produto escalar de produtos vetoriais: (a times b) cdot (b times c).
Como já vimos:
a times b = 0 b times c = -4i + 7j + 5k
Então:
(a times b) cdot (b times c) = 0 cdot (-4i + 7j + 5k)
O produto escalar de qualquer vetor com o vetor nulo é zero. Portanto:
(a times b) cdot (b times c) = 0

Resposta

a cdot b &= 14 b cdot c &= -6 a times b &= 0 b times c &= -4i + 7j + 5k [a, b, c] &= 0 (a times b) times (b times c) &= 0 (a times b) cdot (b times c) &= 0

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