Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular vários produtos entre os vetores , e . Os tipos de produtos que vamos abordar são:
Produto escalar ( e )
Produto vetorial ( e )
Produto misto ()
Produto vetorial de produtos vetoriais ()
Produto escalar de produtos vetoriais ()
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender as definições e as fórmulas de cada tipo de produto. Vamos com calma, passo a passo!
Passo 2
Vamos começar calculando o produto escalar entre e , ou seja, .
O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Agora, substituindo os componentes de e :
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre e , ou seja, .
Usando a mesma fórmula:
Substituindo os componentes:
Então:
Passo 4
Vamos calcular agora o produto vetorial entre e , ou seja, .
O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Calculando o determinante:
a times b = i & j & k 2 & -1 & 3 2 & -1 & 3
Observamos que as duas linhas abaixo dos vetores são iguais, o que significa que o determinante será zero. Portanto:
a times b = 0
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre b e c, ou seja, b times c.
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
b times c = i & j & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & -2
Calculando o determinante:
b times c = i [(-1)(-2) - (3)(2)] - j [(2)(-2) - (3)(1)] + k [(2)(2) - (-1)(1)]
Simplificando:
b times c = i [2 - 6] - j [-4 - 3] + k [4 + 1] b times c = i (-4) - j (-7) + k (5) b times c = -4i + 7j + 5k
Passo 6
Vamos calcular o produto misto[a, b, c].
O produto misto, também conhecido como triplo produto escalar, é dado por:
[a, b, c] = a cdot (b times c)
Já calculamos b times c no passo anterior:
b times c = -4i + 7j + 5k
Então, agora fazemos o produto escalar entre a e b times c:
a = 2i - j + 3k a cdot (b times c) = (2)(-4) + (-1)(7) + (3)(5) = -8 -7 +15 = 0
Então:
[a, b, c] = 0
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto vetorial de produtos vetoriais: (a times b) times (b times c).
Já sabemos que a times b = 0 (do passo 4) e b times c = -4i + 7j + 5k (do passo 5).
Então:
(a times b) times (b times c) = 0 times (-4i + 7j + 5k)
Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com o vetor nulo 0 é o vetor nulo. Portanto:
(a times b) times (b times c) = 0
Passo 8
Por último, vamos calcular o produto escalar de produtos vetoriais: (a times b) cdot (b times c).
Como já vimos:
a times b = 0 b times c = -4i + 7j + 5k
Então:
(a times b) cdot (b times c) = 0 cdot (-4i + 7j + 5k)
O produto escalar de qualquer vetor com o vetor nulo é zero. Portanto:
(a times b) cdot (b times c) = 0
Resposta
a cdot b &= 14 b cdot c &= -6 a times b &= 0 b times c &= -4i + 7j + 5k [a, b, c] &= 0 (a times b) times (b times c) &= 0 (a times b) cdot (b times c) &= 0