Considerando as matrizes A=[rr5 & -5 9 & -1 0 & -12], B=[rr-8 & 3 -6 & -2] e C=[rrr-1 & 4 & 8 -6 & 2 & -4] calcule: B^t(C C^t-A^t A)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a expressão envolvendo as matrizes , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular transpostos de matrizes, multiplicação de matrizes e subtração de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os transpostos das matrizes A = 5 & -5 9 & -1 0 & -12 e A^t = 5 & 9 & 0 -5 & -1 & -12 . O transposto de uma matriz é simplesmente trocar as linhas pelas colunas.
A matriz B = -8 & 3 -6 & -2 é:
B^t = -8 & -6 3 & -2
Então, o transposto fica:
A matriz é:
E o transposto é:

Passo 3

Agora, vamos calcular C = -1 & 4 & 8 -6 & 2 & -4 , onde C^t = -1 & -6 4 & 2 8 & -4 é o transposto de C C^t = -1 & 4 & 8 -6 & 2 & -4 -1 & -6 4 & 2 8 & -4 . Primeiro, encontramos (-1)(-1) + (4)(4) + (8)(8) = 1 + 16 + 64 = 81 :
(-1)(-6) + (4)(2) + (8)(-4) = 6 + 8 - 32 = -18
Então,
(-6)(-1) + (2)(4) + (-4)(8) = 6 + 8 - 32 = -18
A multiplicação (-6)(-6) + (2)(2) + (-4)(-4) = 36 + 4 + 16 = 56 é feita multiplicando C C^t = 81 & -18 -18 & 56 por :
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular A^t = 5 & 9 & 0 -5 & -1 & -12 :
A = 5 & -5 9 & -1 0 & -12
A^t A = 5 & 9 & 0 -5 & -1 & -12 5 & -5 9 & -1 0 & -12
A multiplicação 5 times 5 + 9 times 9 + 0 times 0 = 25 + 81 + 0 = 106 é:
5 times (-5) + 9 times (-1) + 0 times (-12) = -25 - 9 + 0 = -34
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
-5 times 5 + (-1) times 9 + (-12) times 0 = -25 - 9 + 0 = -34
  • Elemento (1,2):
-5 times (-5) + (-1) times (-1) + (-12) times (-12) = 25 + 1 + 144 = 170
  • Elemento (2,1):
A^t A = 106 & -34 -34 & 170
  • Elemento (2,2):
Então,

Passo 5

Agora, vamos subtrair C C^t - A^t A = 81 & -18 -18 & 56 - 106 & -34 -34 & 170 de 81 - 106 = -25 :

[
C C^{t} - A^{t} A = -18 - (-34) = -18 + 34 = 16

-18 - (-34) = -18 + 34 = 16
]
Fazendo a subtração elemento a elemento:
  • Elemento (1,1):
56 - 170 = -114
  • Elemento (1,2):
C C^t - A^t A = -25 & 16 16 & -114
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,

Passo 6

Agora, vamos multiplicar B^t = -8 & -6 3 & -2 pelo resultado que obtivemos:
C C^t - A^t A = -25 & 16 16 & -114
-8 & -6 3 & -2 -25 & 16 16 & -114
A multiplicação (-8) times (-25) + (-6) times 16 = 200 - 96 = 104 será:
(-8) times 16 + (-6) times (-114) = -128 + 684 = 556
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
3 times (-25) + (-2) times 16 = -75 - 32 = -107
  • Elemento (1,2):
3 times 16 + (-2) times (-114) = 48 + 228 = 276
  • Elemento (2,1):
B^t(C C^t-A^t A) = 104 & 556 -107 & 276
  • Elemento (2,2):
Então,

Resposta

A matriz resultante de 104 & 556 -107 & 276 é:

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