Calcule a área da parte que está acima do plano
da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da curva
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a área da parte da superfície que está acima do plano
. Essa superfície é obtida rotacionando a curva
em torno do eixo
, considerando apenas os valores de
positivos (
). Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Essa é uma parábola que abre para baixo no eixo
. Como queremos rotacionar essa curva em torno do eixo
, vamos gerar uma superfície de revolução.
Passo 3
Para encontrar a área dessa superfície de revolução, usamos a fórmula da área de superfície para rotação em torno do eixo
:
Aqui,
é a distância do ponto à rotação (eixo
), e
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Aqui, os limites de integração vão de
a
, pois queremos apenas a parte onde
(acima do plano
), o que corresponde a
.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Fazemos uma substituição para simplificar: seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo
que estava na fórmula da área:
Resposta
A área da parte da superfície acima do plano
é
.
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.
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?
Determine se o campo
é conservativo. Caso afirmativo, encontre uma função
tal que
e calcule
onde
é um caminho de
a
.
Utilizando a mudança de variáveis:
, calcule a integral
, onde
é a região do plano delimitada por
e
.