Calcule a área da parte que está acima do plano x y da superfície obtida pela rotação em torno do eixo z da curva z = 1 - y^2, y > 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a área da parte da superfície que está acima do plano xy. Essa superfície é obtida rotacionando a curva em torno do eixo z, considerando apenas os valores de y positivos ( ). Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Essa é uma parábola que abre para baixo no eixo z. Como queremos rotacionar essa curva em torno do eixo z, vamos gerar uma superfície de revolução.

Passo 3

Para encontrar a área dessa superfície de revolução, usamos a fórmula da área de superfície para rotação em torno do eixo z:
Aqui, y é a distância do ponto à rotação (eixo z), e é a derivada da função z em relação a y.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de z em relação a y:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área:
Aqui, os limites de integração vão de a , pois queremos apenas a parte onde (acima do plano xy), o que corresponde a .

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Fazemos uma substituição para simplificar: seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Voltando para y:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo que estava na fórmula da área:

Resposta

A área da parte da superfície acima do plano xy é .

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